Question

5.Найдите производную функции и вычислите:

Answer 1

Ответ:

Пользуемся правилами дифференцирования функций и таблицей производных сложных функций .

$a)\ \ f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}\ \ ,\ \ f'(2)-?\\\\\\f'(x)=\dfrac{1\cdot (1+x^2)-x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\dfrac{-x^2}{(1+x^2)^2}\\\\\\f'(2)=\dfrac{-2^2}{(1+2^2)^2}=-\dfrac{4}{25}\\\\\\b)\ \ y=\dfrac{1}{5}\, tg^5x+\dfrac{2}{3}\, tg^3x+tgx\ \ ,\ \ y'(\frac{\pi}{3})-?\\\\\\y'=\dfrac{1}{5}\cdot 5\, tg^4x\cdot \dfrac{1}{cos^2x}+\dfrac{2}{3}\cdot 3\, tg^2x\cdot \dfrac{1}{cos^2x}+\dfrac{1}{cos^2x}=\dfrac{1}{cos^2x}\cdot (tg^4x+2\, tg^2x+1)$

$y'(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{(1/2)^2}\cdot (\, (\sqrt3)^4+2(\sqrt3)^2+1)=4\cdot (9+2\cdot 2+1)=4\cdot 14=56$