Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном $n$ необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при $n = 1$ (или для любого другого конкретного натруального $p$, тогда утверждение будет доказано от $p$ и до всех последюущих натуральных $n$ если удастся доказать индуктивный переход).

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для $n = k$ и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для $n = k + 1$

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных $n$методом математической индукции.

1.111

1) способ решения

Воспользуемся методом математической индукции:

$3^{n} > n^{3}; n \in \mathbb N; n\geq 4$

База индукции:

$n = 4;$

$3^{4} \lor 4^{3}$

$81 > 64 \Longrightarrow \boxed{3^{4} > 4^{3}}$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$\boxed{3^{k} > k^{3}}$ - верно

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$3^{k + 1} > (k + 1)^{3}$

$3^{k} \cdot 3^{1} > k^{3} + 3k^{2} + 3k + 1$

$3 \cdot 3^{k} - k^{3} - 3k^{2} - 3k - 1 > 0$

$2 \cdot 3^{k} + \underbrace{ 3^{k} - k^{3}}_{ > 0} - 3k^{2} - 3k - 1 > 0$

$2 \cdot 3^{k} - 3k^{2} - 3k - 1 > 0$

Воспользуемся методом математической индукции:

$2 \cdot 3^{k} - 3k^{2} - 3k - 1 > 0$ при $k \in \mathbb N; k \geq 4$

База индукции:

$k = 4;$

$2 \cdot 3^{4} - 3 \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 - 1 \lor 0$

$2 \cdot 81 - 3 \cdot 16 - 12 - 1 \lor 0$

$162 - 48 - 13 \lor 0$

$101 > 0 \Longrightarrow \boxed{2 \cdot 3^{4} - 3 \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 - 1 \lor 0}$ - верно

Индуктивный переход:

$k = p;$

$\boxed{2 \cdot 3^{p} - 3p^{2} - 3p - 1 > 0}$ - пусть верно

Необходимо доказать:

$k = p + 1;$

$2 \cdot 3^{p + 1} - 3(p + 1)^{2} - 3(p + 1) - 1 > 0$

$2 \cdot 3^{p} \cdot 3^{1} - 3(p^{2} + 2p + 1) - 3(p + 1) - 1 > 0$

$2 \cdot 3^{p} \cdot 3^{1} - 3(p^{2} + 2p + 1) - 3(p + 1) - 1 > 0$

$6 \cdot 3^{p} - (3p^{2} + 6p + 3) - (3p + 3) - 1 > 0$

$6 \cdot 3^{p} - 3p^{2} - 6p - 3 - 3p - 3 - 1 > 0$

$\underbrace{2 \cdot 3^{p} - 3p^{2} - 3p - 1}_{ > 0} + 4 \cdot 3^{p} - 6p - 3 - 3 > 0$

$4 \cdot 3^{p} - 6p - 6 > 0|:2$

$2 \cdot 3^{p} - 3p - 3 > 0$

Воспользуемся методом математической индукции:

$2 \cdot 3^{p} - 3p - 3 > 0$ при $p \in \mathbb N; p \geq 4$

База индукции:

$p = 4;$

$2 \cdot 3^{4} - 3 \cdot 4 - 3 \lor 0$

$162 - 12 - 3 \lor 0$

$147 > 0 \Longrightarrow \boxed{2 \cdot 3^{4} - 3 \cdot 4 - 3 \lor 0}$ - верно

Индуктивный переход:

$p = m;$

$\boxed{2 \cdot 3^{m} - 3m - 3 > 0}$ - верно

Необходимо доказать:

$p = m + 1$

$2 \cdot 3^{m + 1} - 3(m + 1) - 3 > 0$

$2 \cdot 3^{m} \cdot 3^{1} - (3m +3 ) - 3 > 0$

$6 \cdot 3^{m} -3m -3 - 3 > 0$

$\underbrace{ 2 \cdot 3^{m} -3m -3}_{ > 0} + 4 \cdot 3^{m} - 3 > 0$

$4 \cdot 3^{m} - 3 > 0$

$3^{m} + 3^{m} + 3^{m} + 3^{m} - 3 > 0$

Так как $y = 3^{m}$ - показательная функция, то $3^{m} > 0$ при $m \in \mathbb N$

$3^{m} - 3 > 0$

$3^{m} > 3^{1} \Longleftrightarrow m > 1$, а по условию минимальное $m = 4$, то есть неравенство выпоняется при любых $m$.

Так как верно $3^{m} - 3 > 0$, то вся предыдущая серия неравенств также верна и методом математической индукции доказано, что

$\boxed{ 3^{n} > n^{3}}$ при $n \in \mathbb N; n\geq 4$.