Question

Помогите решить задание с системой

Answer 1

Ответ:

( 2; -1) - решение системы .

Пошаговое объяснение:

Решим систему

$\left \{\begin{array}{l} 3^{1+\log{_3}(x^{2} +y^{2} )} =15, \\ \log{_3}(x^{2} -y^{2} )=\log{_3}(x-y).\end{array} \right.$

Упростим первое уравнение системы, воспользовавшись основным логарифмическим тождеством

$a^{\log{_a}x} =x, a > 0,a\neq 1,x > 0$

$3^{1+\log{_3}(x^{2} +y^{2} )} =15;\\ 3\cdot 3^{\log{_3}(x^{2} +y^{2} )} =15|:3;\\3^{\log{_3}(x^{2} +y^{2} )} =5; \\x^{2} +y^{2} =5$

Тогда система принимает вид:

$\left \{\begin{array}{l} x^{2} +y^{2} =5, \\ \log{_3}(x^{2} -y^{2} )=\log{_3}(x-y)\end{array} \right.$

Так как логарифм определен на множестве положительных чисел,  то при потенцировании запишем условие  x-y > 0.

$\left \{\begin{array}{l} x^{2} +y^{2} =5, \\ \log{_3}(x^{2} -y^{2} )=\log{_3}(x-y);\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x^{2} +y^{2} = 5, \\ x^{2} -y^{2}= x-y, \\ x - y > 0 ;\end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x^{2} +y^{2} = 5, \\ (x-y)(x+y)= x-y, \\ x - y > 0 ;\end{array} \right.$

Так как  x-y>0, то разделим обе части второго уравнения на  (x-y) и получим:

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x^{2} +y^{2} = 5, \\ (x-y)(x+y)= x-y|:(x-y)\neq 0, \\ x - y > 0 ;\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x^{2} +y^{2} = 5, \\ x+y= 1, \\ x - y > 0 ;\end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x^{2} +y^{2} = 5, \\ x= 1-y, \\ x - y > 0 ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} (1-y)^{2} +y^{2} = 5, \\ x= 1-y, \\ x - y > 0 ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} 1-2y+y^{2} +y^{2} - 5=0, \\ x= 1-y, \\ x - y > 0 ;\end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} 2y^{2} -2y- 4=0|:2, \\ x= 1-y, \\ x - y > 0 ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y^{2} -y- 2=0, \\ x= 1-y, \\ x - y > 0 .\end{array} \right.$

Решим первое уравнение системы

$y^{2} -y-2=0;\\D= (-1)^{2} -4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9=3^{2} ;\\y{_1}=\dfrac{1-3}{2} =-\dfrac{2}{2} =-1;\\\\y{_2}=\dfrac{1+3}{2} =\dfrac{4}{2} =2.$

Если y= -1  , то x= 1 - ( - 1) = 1+1=2;

Если y=2 , то  x= 1 - 2 = - 1.

Проверим условие x-y>0

(2; -1)        2- (-1)=2+1 =3 >0   - выполняется

(-1; 2)        -1-2 = -3 <0  - условие не выполняется.

Тогда ( 2; -1) - решение системы