Question

Во сколько раз скорость движения самолёта North American X-15 (8200 км/ч) меньше скорости вращения электрона по третьей орбите атома водорода.​

Answer 1

Ответ:

• В 318 раз скорость движения самолета меньше скорости вращения электрона

Объяснение:

Дано:

$v_1$=8200 км/ч = 2278 м/с

$m_e=9,11 \cdot 10^{-31}$ кг

$\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12}$ Кл²/(Н·м²)

$h=6,63\cdot 10^{-34}$ Дж·с

$e=1,6\cdot 10^{-19}$ Кл

n=3

Найти: $\displaystyle \frac{v_2}{v_1}$ - ?

Решение:

Ядро атома притягивает к себе электрон, тогда, согласно закону Кулона, сила их притяжения: $\displaystyle \boxed{F_{K}=\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0R^2 }}$, где R - радиус электронной орбиты, e - элементарный заряд, $\boldsymbol{\varepsilon_0}$ - электрическая постоянная.

Двигаясь по орбите, электрон приобретает центробежную силу, тогда, согласно второму закону Ньютона: $\boxed{F_{H}=m_ea}$, где $\boldsymbol{m_e}$ - масса электрона, a -  ускорение.

Сила Кулона и сила Ньютона по модулю будут равны, тогда $\displaystyle m_ea=\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0R^2 }$. При условии, что $\displaystyle a=\frac{v_2^2}{R}$, получим: $\displaystyle \boxed{m_ev_2^2 =\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R} } \;\boldsymbol{(1)}$.

Данных для расчетов недостаточно, поэтому воспользуемся условием квантования для нахождение радиусов стационарных круговых орбит электронов: $\displaystyle \boxed{m_evR=n\frac{h}{2\pi} }\;\boldsymbol{(2)}$, где n - номер орбиты, $\boldsymbol{v}$ - скорость электрона на n-ой орбите, $\boldsymbol{R}$ - радиус n-ой орбиты, h - постоянная Планка.

Теперь решим систему уравнений (1) и (2):

$\displaystyle \left \{ {{m_ev_2^2 =\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R} }} \atop {m_ev_2R_=n\frac{h}{2\pi} }}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{m_e\cdot (\frac{nh}{2\pi m_eR})^2=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}} \atop {v_2=\frac{nh}{2\pi m_eR} }} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{\frac{m_e n^2h^2}{4\pi^2m_e^2R^2}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R} } \atop {v_2=\frac{nh}{2\pi m_eR} }} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left \{ {{\frac{n^2h^2}{\pi m_eR} =\frac{e^2}{\varepsilon_0} } \atop {v_2=\frac{nh}{2\pi m_eR} }}\right. \Leftrightarrow\left \{ {{R=\frac{\varepsilon_0 n^2h^2}{\pi m_ee^2} } \atop {v_2=\frac{nh}{2\pi m_eR} }} \right.$

Итак, радиус третьей орбиты водорода:

$\displaystyle \boldsymbol{R}=\frac{\varepsilon_0 n^2h^2}{\pi m_e e^2} =\frac{8,85\cdot 10^{-12}\cdot 3^2\cdot (6,63\cdot 10^{-34})^2}{\pi \cdot 9,11\cdot 10^{-31}\cdot (1,6\cdot 10^{-19})^2} \approx \boldsymbol{4,8\cdot 10^{-10}}$ м.

Тогда скорость вращения электрона:

$\displaystyle \boldsymbol{v_2}=\frac{nh}{2\pi m_eR}=\frac{3\cdot 6,63\cdot 10^{-34}}{2\pi \cdot 9,11\cdot 10^{-31}\cdot 4,8\cdot 10^{-10}} \approx \boldsymbol{723928}$ м/с.

Значит, $\displaystyle \boldsymbol{\frac{v_2}{v_1}} =\frac{723928}{2278} \approx \boldsymbol{318}$ раз.