Question

Пожалуйста. 20.10 20.12 Даю 70баллов

Answer 1

В первом задании скорее всего нужно найти производные данных функций

№ 20.10

Найдите производные данных функций :

$1) ~ f(x) = 2x^{11} - 3\cos x + 7$

Для решения  будем использовать формулу :

$(u-v)' = u ' - v'$

Тогда

$f'(x) = (2x^{11} - 3\cos x + 7) ' = (2x^{11})' -3(\cos x) ' + (7)' =\\\\ 22x^{10} - 3 \cdot (- \sin x) + 0 = \boxed{22x^{10} + 3\sin x}$



$2) ~ g(x) = 5x^7 + \dfrac{1}{x} - x$

Немного преобразуем выражения

$g(x) = 5x^7 + \dfrac{1}{x} - x = 5x^7 + \dfrac{1-x^2}{x}$


Теперь воспользуемся формулами :

$1) ~(u\pm v)' = u ' \pm v' \\\\\\ 2) ~ \bigg (\dfrac{u}{v} \bigg ) ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$


Тогда

$g'(x) =\bigg( 5x^7 + \dfrac{1-x^2}{x} \bigg ) ' = (5x^7)' + \bigg( \dfrac{1-x^2}{x} \bigg ) ' = \\\\\\ \boxed{35x^6 - \dfrac{x^2+1}{x^2}}$

Вычислим производную второй скобки по второй формуле

$\bigg( \dfrac{1-x^2}{x} \bigg ) ' = \dfrac{(1-x^2)' x - (1-x^2 )x'}{x^2} = \dfrac{-2x^2-1+x^2}{x^2} = \dfrac{-x^2-1 }{x^2}$

№ 20.12  

Найдите значение  производных  функций в точке  x₀ :

$1) ~ g(x)= x^4 - \dfrac{1}{2}x^2 ~~ ; ~ x_0 = 1$

Найдем производную функции  g(x)

$g'(x) = \bigg ( x^4 - \dfrac{1}{2}x^ 2 \bigg)' = 4x ^3 - x$

Тогда

$g(x_0 ) = g(1) = 4\cdot 1^3 - 1 = \boxed{3}$



$2) ~ g(x)= 2 \mathrm{ctg} x ~~ ; ~ x_0 = - \frac{\pi }{4}$

Найдем производную функции  g(x)

$g(x) = (2 \mathrm{ctg} x) ' =2\cdot \bigg ( - \dfrac{1}{\sin ^2 x } \bigg ) = - \dfrac{2}{\sin ^2 x }$

Тогда

$g(x_0 ) = g(-\frac{\pi }{4} ) = - \dfrac{2 }{\sin ^2(\frac{\pi }{4} )} =- \dfrac{2}{ \bigg ( \dfrac{\sqrt{2} }{2} \bigg )^2 } = \boxed{- 4}$