Question

Найди площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 34 и 10, а высота - 9

Answer 1

Ответ:

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 1320 ед.².

Объяснение:

Найти площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 34 и 10, а высота - 9.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная усеченная  пирамида.

АВ = 34; А₁В₁ = 10; ОО₁ = 9.

Найти: S боковой поверхности.

Решение:

Пирамида правильная, значит в основаниях - квадраты.

Боковая поверхность состоит из четырех равнобедренных трпеций.

1. АВСD - квадрат.

Диагональ квадрата равна:

d = a√2, где а - сторона квадрата.

АС - диагональ.

АС = 34√2;

А₁В₁С₁D₁ - квадрат.

А₁С₁ - диагональ.

АС = 10√2;

2. Рассмотрим АА₁СС₁ - равнобедренная трапеция.

• Высота, опущенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции на большее основание, делит его на части, меньшая из которых равна полуразности оснований.

⇒ АН = (АС - А₁С₁) : 2 = (34√2 - 10√2) : 2 = 12√2

3. Рассмотрим ΔАА₁Н - прямоугольный.

АН = 12√2; А₁Н = 9.

По теореме Пифагора:

АА₁² = АН² + А₁Н² = 288 + 81 =369

АА₁ = √369

4. Рассмотрим ΔАА₁DD₁ - равнобедренная трапеция.

Проведем А₁Е ⊥ AD.

АЕ = (AD - A₁D₁) : 2 = (34 - 10) : 2 = 12

5. Рассмотрим ΔАА₁Е - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

А₁Е² = АА₁² - АЕ² = 369 - 144 = 225

А₁Е = √225 = 15

6. Найдем S (AA₁DD₁):

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

$\displaystyle S_{AA_1DD_1}=\frac{AD+A_1D_1}{2}\cdot{A_1E} =\frac{34+10}{2}\cdot15=330$

7. Найдем площадь боковой поверхности:

Sбок. =  S (AA₁DD₁) · 4 = 330 · 4 = 1320 (ед.²)

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 1320 ед.².