Question

Основанием пирамиды является ромб, диагонали которого равны 30см и 40см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 60 градусов. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду. Подробно, с чертежом

Answer 1

Ответ:

Объем конуса равен 576√3π см³.

Объяснение:

Конус вписан в пирамиду, значит его радиус - радиус окружности, вписанной в основание пирамиды. Высота равна высоте пирамиды.

Проведем SO - высоту пирамиды.

Из точки О проведем перпендикуляры к сторонам ромба:

OK⊥AB, OL⊥BC, OM⊥CD, ON⊥AD.

Эти отрезки - проекции наклонных SK, SL, SM и SN на плоскость основания, тогда наклонные перпендикулярны сторонам ромба по теореме о трех перпендикулярах.

Значит, ∠SKO = ∠SLO = ∠SMO = ∠SNO = 60° - линейные углы двугранных углов наклона боковых граней к плоскости основания.

ΔSKO = ΔSLO = ΔSMO = ΔSNO по катету и противолежащему острому углу:

• треугольники прямоугольные, так как SO высота пирамиды;
• SO - общий катет;
• противолежащий угол 60°.

Тогда OK = OL = OM = ON, то есть точка О равноудалена от сторон ромба, значит О - центр окружности, вписанной в ромб - точка пересечения диагоналей ромба.

• Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

АО = 0,5 АС = 20 см

ВО = 0,5 BD = 15 см

ΔАОВ:  ∠АОВ = 90°, по теореме Пифагора

 АВ = √(АО² + ВО²) = √(20² + 15²) = √(400 + 225) = √625 = 25 см

ОК - высота прямоугольного треугольника, значит

$OK=\dfrac{AO\cdot BO}{AB}=\dfrac{20\cdot 15}{25}=12$

OK = 12 см

ΔSOK:  ∠SOK = 90°,

 $tg\angle SKO=\dfrac{SO}{OK}$

 $SO=OK\cdot tg 60^\circ$

 $SO=12\cdot \sqrt{3}$

SO = 12√3 см

Итак, радиус основания конуса:

R = OK = 12 см

Высота:

h = SO = 12√3 см

Объем конуса:

$V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h$

$V=\dfrac{1}{3}\pi \cdot 12^2\cdot 12\sqrt{3}$

V = 576√3π см³