Question

Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Объяснение:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(x+6)^n}{n!} .$

Составим ряд:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{(x+6)^n}{n!}| .$

Применим к нему признак Даламбера:

$u_n=|\frac{(x+6)^n}{n!}|\ \ \ \ \ \ u_{n+1}=|\frac{(x+6)^{n+1}}{(n+1)!} |$

Составим предел:

$\lim\limits_{n \to \infty} |\frac{(x+6)^{n+1}}{(n+1)!} :\frac{(x+6)^n}{n!}|= \lim\limits_{n \to \infty} |\frac{(x+6)^{n+1}}{(n+1)!}*\frac{n!}{(x+6)^n}|= \lim\limits_{n \to \infty} |\frac{(x+6)^n*(x+6) *n!}{n!*(n+1)*(x+6)^n}|=\\ = \lim\limits_{n \to \infty} |\frac{x+6}{n+1}|=|x+6|* \lim\limits_{n \to \infty} |\frac{1}{n+1} | =|x+6|*0=0.$

Так как условие выполнено при любом значении х, интервалом сходимости является вся числовая ось. Радиус сходимости будет равен бесконечности.

Ответ: (-∞;+∞),  R=∞.