Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями
у=6х-х^2, y=-x^2+14x-40, y=9

Answer 1

Ищем точки пересечения графиков:

$-x^2+14x-40 = 6x - x^2, \ 8x = 40, \ x = 5\\\\ (6 -x)x = 9, \ x^2 - 6x + 9 = 0, \ (x - 3)^2 = 0, \ x = 3\\\\ -x^2+14x-40 = 9, \ -x^2 + 14x - 49 = 0, \ (x - 7)^2 = 0, \ x = 7$

Теперь ищем площадь:

$S = 9*2 - \int\limits^{5}_{3} (6x - x^2) \ dx + 9*2 - \int\limits^{7}_{5} (-x^2+14x-40) \ dx =\\\\ = 36 - (3x^2 - \frac{x^3}3)|\limits^{5}_{3} - (- \frac{x^3}3 + 7x^2 - 40x)|\limits^{7}_{5}=\\\\ = 36 - (75 - \frac{125}3 - 27 + \frac{27}3) - (- \frac{343}3 + 343 - 280 + \frac{125}3 - 175+ 200) =\\\\ = 36 - (\frac{46}{3}) - (\frac{46}{3}) = \boxed{\frac{16}{3}}$