Ответы
когда подводим под знак дифференциал выражение.
дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента.
например. помним, что ∫dх/х=㏑IxI+с;
представим, надо взять ∫(㏑x)dx/x
здесь можно сделать замену, или подвести под знак дифференциала логарифм.
что такое d(㏑x)?
здесь надо взять производную от логарифма (㏑х))'=1/х и умножить на дифференциал аргумента dx, т.е. получим
d(㏑x)=dx/x
а теперь посмотрите, что дала вам производная?
∫(㏑x)dx/x= ∫(㏑x)d(㏑(x))если сделать замену ㏑х =u, то получаем табличный интеграл ∫udu=u²/2+c,
∫(㏑x)d(㏑(x))=(㏑²(х))/2+с
Ответ:
Определение первообразной: функция F(x) называется
первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если на этом промежутке существует F'(x) и .
Неопределённый интеграл - это семейство (совокупность) первообразных , то есть множество функций вида , где С=const .
Записываем так: .
Если заменить в интеграле функцию на
, и вспомнить, что дифференциал функции равен её производной, умноженной на дифференциал переменной (dy=y'dx) , то
или
.
Значит под знаком интеграла записывают производную, а точнее дифференциал, какой-то функции, и при интегрировании мы эту функцию находим . То есть нахождение производных (дифференцирование) и нахождение неопределенных интегралов (интегрирование) – это два взаимно обратных действия .
Например, мы знаем производную функции . Поэтому, если записан интеграл
, то понятно, что под знаком интеграла записана производная функции tgx (дифференциал tgx ), и в ответе мы должны записать функцию tgx+C , то есть
.
Чуть сложнее , например, найти интеграл от функции , так как мы знаем производную
. Здесь есть минус. Но на него можно домножить и разделить подынтегральное выражение, тогда
Такая запись, когда под знаком интеграла указывается дифференциал от некоторой функции , называется подведением под знак дифференциала .
Значит под знаком интеграла в первую очередь при решении примеров надо искать производную от какой-то знакомой функции.
Можно пользоваться заменой переменных .
Например, . Мы знаем производную (sinx)'=cosx .
В записи подынтегральной функции присутствуют и sinx и cosx , причём на dx умножается cosx , он пойдёт в дифференциал функции sinx . Тогда, заменив на новую переменную ф-цию sinx ( t=sinx) , мы получим табличный интеграл
(интеграл от степенной функции - это уже табличный интеграл )
.
Можно всегда проверить себя, найдя производную от первообразной.
Получили подынтегральную функцию. Значит первообразную нашли верно.
Так что без производной в интеграле обойтись нельзя. Подынтегральная функция - это и есть производная некоторой функции, которую мы находим .