Question

Зачем производная в интеграле и покажите пример как она там используется

Answer 1

когда подводим под знак дифференциал выражение.

дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента.

например. помним, что ∫dх/х=㏑IxI+с;

представим, надо взять ∫(㏑x)dx/x

здесь можно сделать замену, или подвести под знак дифференциала логарифм.

что такое d(㏑x)?

здесь надо взять производную от логарифма (㏑х))'=1/х и умножить на дифференциал аргумента dx, т.е. получим

d(㏑x)=dx/x

а теперь посмотрите, что дала вам производная?

∫(㏑x)dx/x= ∫(㏑x)d(㏑(x))если сделать замену ㏑х =u, то получаем табличный интеграл ∫udu=u²/2+c,

∫(㏑x)d(㏑(x))=(㏑²(х))/2+с

Answer 2

Ответ:

Определение первообразной:  функция F(x) называется

первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если на этом промежутке существует F'(x)  и   $F'(x)=f(x)$  .

Неопределённый интеграл - это семейство (совокупность) первообразных , то есть множество функций вида  $F(x)+C$  , где С=const .

Записываем так:   $\displaystyle \int f(x)\, dx=F(x)+C$  .

Если заменить в интеграле функцию   $f(x)$  на  $F'(x)$  , и вспомнить, что дифференциал функции равен её производной, умноженной на дифференциал переменной  (dy=y'dx) , то

 $\displaystyle \int \underbrace{F'(x)\, dx}_{d(F(x))}=F(x)+C$       или        $\displaystyle \int d\Big(F(x)\Big)=F(x)+C$    .

Значит под знаком интеграла записывают производную, а точнее дифференциал, какой-то функции, и при интегрировании мы эту функцию находим . То есть нахождение производных (дифференцирование) и нахождение неопределенных интегралов (интегрирование) – это два взаимно обратных действия .

Например, мы знаем производную функции  $(tgx)'=\dfrac{1}{cos^2x}$  . Поэтому, если записан интеграл  $\displaystyle \int \frac{1}{cos^2x}\, dx$  , то понятно, что под знаком интеграла записана производная функции  tgx (дифференциал tgx ), и в ответе мы должны записать  функцию tgx+C , то есть   $\displaystyle \int \frac{1}{cos^2x}\, dx=\int d(tgx)=tgx+C$  .

Чуть сложнее , например, найти интеграл от функции  $\dfrac{1}{sin^2x}$  , так как мы знаем производную  $(ctgx)'=-\dfrac{1}{sin^2x}$  . Здесь есть минус. Но на него можно домножить и разделить подынтегральное выражение, тогда

$\displaystyle \int \frac{1}{sin^2x}\, dx=-\int \frac{-dx}{sin^2x}=-\int d(ctgx)=-ctgx+C$

Такая запись, когда под знаком интеграла указывается дифференциал от некоторой функции , называется подведением под знак дифференциала .

Значит под знаком интеграла в первую очередь при решении примеров надо искать производную от какой-то знакомой функции.

Можно пользоваться заменой переменных .

Например,    $\displaystyle \int \frac{cosx\, dx}{sin^2x}$  .   Мы знаем производную (sinx)'=cosx .

В записи подынтегральной функции присутствуют и sinx и cosx , причём на dx умножается cosx , он пойдёт в дифференциал функции  sinx . Тогда, заменив на новую переменную ф-цию sinx ( t=sinx) , мы получим табличный интеграл

$\displaystyle \int \frac{cosx\, dx}{sin^2x}=\Big[\ t=sinx\ ,\ dt=cosx\, dx\ \Big]=\int \dfrac{dt}{t^2}=\int t^{-2}\, dt=$

(интеграл от степенной функции - это уже табличный интеграл )

$\displaystyle =\frac{t^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{sinx}+C$   .

Можно всегда проверить себя, найдя производную от первообразной.

$\Big(-\dfrac{1}{sinx}+C\Big)'=-\Big((sinx)^{-1}\Big)'+0=-\Big(-1\cdot (sinx)^{-2}\Big)\cdot (sinx)'=\\\\=(sinx)^{-2}\cdot cosx=\dfrac{cosx}{sin^2x}$

Получили подынтегральную функцию. Значит первообразную нашли верно.

Так что без производной в интеграле обойтись нельзя. Подынтегральная функция - это и есть производная некоторой функции, которую мы находим .