Question

Текст задания на фото.

Answer 1

Доказательство:

Даны два треугольника А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂.

В них проведены медианы, которые пересекаются в точке К, общей для двух треугольников.

Надо доказать, что прямые А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂ параллельны одной плоскости.

Рассмотрим ΔА₁В₁С₁. В нем проведены медианы A₁E, B₁F, C₁D, которые персекаются в точке К.

Докажем, что равна нулю сумма векторов с началом в точке К и с концом в вершинах треугольника:

$\overrightarrow{KA_1}+\overrightarrow{KB_1}+\overrightarrow{KC_1}=0$

Так как E середина ВС, то

$\overrightarrow{KE}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{KB_1}+\overrightarrow{KC_1})$

• Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

$\overrightarrow{KE}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{KA_1}$

$-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{KA_1}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{KB_1}+\overrightarrow{KC_1})$

Перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения и получим:

$\dfrac{1}{2}\overrightarrow{KA_1}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{KB_1}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{KC_1}=0$

Значит, и $\overrightarrow{KA_1}+\overrightarrow{KB_1}+\overrightarrow{KC_1}=0$.

__________________

Для треугольника А₁В₁С₁:   $\overrightarrow{KA_1}+\overrightarrow{KB_1}+\overrightarrow{KC_1}=0$

Для треугольника А₂В₂С₂:  $\overrightarrow{KA_2}+\overrightarrow{KB_2}+\overrightarrow{KC_2}=0$

Вычтем из первого равенства второе:

$\overrightarrow{KA_1}-\overrightarrow{KA_2}+\overrightarrow{KB_1}-\overrightarrow{KB_2}+\overrightarrow{KC_1}-\overrightarrow{KC_2}=0$

По правилу вычитания векторов

$\overrightarrow{KA_1}-\overrightarrow{KA_2}=\overrightarrow{A_2A_1}$

$\overrightarrow{KB_1}-\overrightarrow{KB_2}=\overrightarrow{B_2B_1}$

$\overrightarrow{KC_1}-\overrightarrow{KC_2}=\overrightarrow{C_2C_1}$

Тогда получаем:

$\overrightarrow{A_2A_1}+\overrightarrow{B_2B_1}+\overrightarrow{C_2C_1}=0$

$\overrightarrow{A_2A_1}=-\overrightarrow{B_2B_1}-\overrightarrow{C_2C_1}=0$

• Признак компланарности векторов:
• если некоторый вектор $\vec c$ можно разложить по двум векторам $\vec a$ и $\vec b$, то эти три вектора компланарны.

Так как вектор $\overrightarrow{A_2A_1}$ разложен по векторам $\overrightarrow{B_2B_1}$ и $\overrightarrow{C_2C_1}$, то эти три вектора компланарны, т. е. они параллельны одной плоскости. Значит, и прямые А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂ параллельны одной плоскости.