Question

периметр прямоугольного треугольника равен 24дм, а площадь 24дм^2. Найдите стороны треугольника

Answer 1

Ответ:

Стороны прямоугольного треугольника 6 дм, 8 дм, 10 дм.

Пошаговое объяснение:

Введем обозначения:

• с - гипотенуза,
• а - меньший катет,
• b - больший катет.

По условию, периметр треугольника 24 дм:

a + b + c = 24

Площадь треугольника 24 дм²:

$S=\dfrac{ab}{2}=24$

По теореме Пифагора:

a² + b² = c²

Получаем систему из трех уравнений с тремя переменными:

$\left\{ \begin{array}{lll}a+b+c=24\\\\\dfrac{ab}{2}=24\\\\a^2+b^2=c^2\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{lll}a+b=24-c\\ab=48\\a^2+b^2=c^2\end{array}$

Возведем обе части первого уравнения в квадрат:

$\left\{ \begin{array}{lll}a^2+2ab+b^2=576-48c+c^2\\2ab=96\\a^2+b^2=c^2\end{array}$

Подставим второе и третье уравнение в первое:

$\left\{ \begin{array}{lll}c^2+96=576-48c+c^2\\2ab=96\\a^2+b^2=c^2\end{array}$

Решим первое уравнение:

$c^2+96=576-48c+c^2$

$48c=576-96$

$48c=480$

$c=10$

$\left\{ \begin{array}{lll}c=10\\a+b=24-10\\ab=48\end{array}$       $\left\{ \begin{array}{ll}c=10\\a+b=14\\ab=48\end{array}$        $\left\{ \begin{array}{ll}c=10\\b=14-a\\a(14-a)=48\end{array}$

Решим третье уравнение:

a(14 - a) = 48

a² - 14a + 48 = 0

По теореме, обратной теореме Виета:

a = 6  или а = 8

так как а - меньший катет, то а = 6 дм.

$\left\{ \begin{array}{lll}c=10\\a=6\\b=8\end{array}$

Стороны треугольника 6 дм, 8 дм, 10 дм.