Question

СРОЧНО!!!!
(x+3y)dx-(3x-y)dy=0 y(1)=0

Answer 1

Ответ:

$(x+3y)\, dx-(3x-y)\, dy=0\ \ ,\ \ y(1)=0\\\\\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+3y}{3x-y}\ \ \to \ \ \ y'=\dfrac{1+3\cdot \frac{y}{x}}{3-\frac{y}{x}}\ \ ,$

Это дифф. ур-е с однородными функциями .

Замена:   $u=\dfrac{y}{x}\ \ ,\ \ y=ux\ \ ,\ \ y'=u'x+u$

$\displaystyle u'x+u=\dfrac{1+3u}{3-u}\ \ ,\ \ \ u'x=\dfrac{1+3u}{3-u}-u\ \ ,\ \ u'x=\dfrac{1+3u-3u+u^2}{3-u}\ ,\\\\\\u'x=\dfrac{1+u^2}{3-u}\ \ ,\ \ \ \dfrac{du}{dx}\cdot x=\dfrac{1+u^2}{3-u}\ \ ,\ \ \ \int \frac{(3-u)du}{1+u^2}=\int \frac{dx}{x}\ ,\\\\\\\int \dfrac{3\, du}{1+u^2}-\frac{1}{2}\int \frac{2u\, du}{1+u^2} =\int \frac{dx}{x}\\\\\\3\, arctgu-\frac{1}{2}\cdot ln(1+u^2)=ln|x|+C$

Общий интеграл    $\displaystyle 3\, arctg\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\cdot ln\Big(1+\frac{y^2}{x^2}\Big)=ln|x|+C$

Подставим начальные условия.

$y(1)=0\ ,\ \ \displaystyle 3\, arctg\frac{0}{1}-\frac{1}{2}\cdot ln\Big(1+\frac{0^2}{1^2}\Big)=ln1+C\ ,\\\\3\, arctg\, 0-\frac{1}{2}\cdot ln1=0+C\ \ ,\ \ C=0$

Частный интеграл   $\displaystyle 3\, arctg\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\cdot ln\Big(1+\frac{y^2}{x^2}\Big)=ln|x|$   .