Question

Прошу помогите с векторами

Answer 1

Ответ:

Даны точки  $_A{x_1~y_1~z_1 \choose-1;8;-2 } ~,~_B{x_2~y_2~z_2\choose3~;2;-6}~;~_C{x_3~y_3~z_3 \choose4;~1;-2 }$

1) Найти векторы  $\overline{AB} \:;\:\overline{BC}$

Чтобы найти координаты вектора , нужно из координат конечной точки отнять координаты начальной точки.

$\boxed{\overline{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1)}\Leftrightarrow~(3-(-1);2-8;-6-(-2))=\\=(3+1;2-8;-6+2)=(4;-6;-4)\\\\\boxed{\overline{BC}=(x_3-x_2;y_3-y_2;z_3-z_2)}\Leftrightarrow~(4-3;1-2;-2-(-6))=\\=(4-3;1-2;-2+6)=(1;-1;4)$

Ответ: $\overline{AB}=(4;-6;-4)~~;~~\overline{BC}=(1;-1;4)$

2) Найти длины векторов $|\overline{AB}|~;~|\overline{BC}|$

Мы нашли координаты векторов $_{\overline{AB}}~_={x_1~;~y_1;~z_1 \choose 4;-6;-4}~;~_{\overline{BC}}~_={x_2~;~y_2;~z_2 \choose 1;-1;4}$

Чтобы найти длину вектора, нужно сложить квадрат координат  вектора , под корнем.

$\boxed{|\overline{AB}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} }\Leftrightarrow~\sqrt{4^2+(-6)^2+(-4)^2} =\sqrt{16+36+16} =\sqrt{68} =\\=2\sqrt{17}\\\\\boxed{|\overline{BC}|=\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2} }\Leftrightarrow~\sqrt{1^2+(-1)^2+4^2} =\sqrt{1+1+16} =\sqrt{18} =\\=3\sqrt{2}$

Ответ: $|\overline{AB}|=2\sqrt{17} ~~;~~|\overline{BC}|=3\sqrt{2}$

3) Найти линейную комбинацию векторов $2\overline{AB}+3\overline{BC}$

Подставим координаты , которые нашли в первом пункте.

$2\cdot(4;-6,-4)+3\cdot(1;-1;4)$  умножим 2 и 3 на каждое цифру в скобке $(8;-12;-8)+(3;-3;12)$ теперь по комбинации $\boxed{(x_1+x_2;y_1+y_2;z_1+z_2)}$  сложим  $(8+3;-12+(-3);-8+12)=(8+3;-12-3;-8+12)=(11;-15;4)$

Ответ: $2\overline{AB}+3\overline{BC}=$$~(11;-15;4)$

4) Найти скалярное произведение векторов $\overline{AB}\cdot\overline{BC}$

Координаты векторов $\overline{AB}~~;~~\overline{BC}$ , распишем по комбинации $\boxed{x_1\cdot~x_2+y_1\cdot~y_2+z_1\cdot~z_2}\Leftrightarrow~4\cdot1+(-6)\cdot(-1)+(-4)\cdot4=4+6-16=-6$

Ответ: $\overline{AB}\cdot\overline{BC}=-6$