Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО. нужно именно упростить по тождественным преобразованиям. ответ должен получиться √2 cos(a-п/4)​

Answer 1

Ответ:

$cos(\alpha - \frac{\pi}{2} )-sin(\alpha - \frac{\pi}{2} )$

Используя четность функций упростим выражение:
$cos(-\alpha)=cos(\alpha )\\sin(-\alpha)=-sin(\alpha )\\cos( \frac{\pi}{2} -\alpha)+sin(\frac{\pi}{2} -\alpha )$

Используя формулы приведения упростим аргументы:
$sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos \alpha\\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=sin \alpha\\sin\alpha+cos\alpha$

Введем дополнительный аргумент по формуле:
$asin\alpha+bcos\alpha=\sqrt{a+b}(\frac{a}{\sqrt{a+b}} sin\alpha+\frac{b}{\sqrt{a+b}}cos\alpha)\\ \frac{a}{\sqrt{a+b}} =sin \phi\\\frac{b}{\sqrt{a+b}} =cos \phi\\\sqrt{a+b}(\frac{a}{\sqrt{a+b}} sin\alpha+\frac{b}{\sqrt{a+b}}cos\alpha)=\sqrt{a+b} \, cos(\phi - \alpha)$

А затем упростим приняв коэффциеинты  за sin и cos соотвественного угла:
$1sin\alpha+1cos\alpha=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} sin\alpha+\frac{1}{\sqrt{2}}cos\alpha)\\ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} sin\alpha+\frac{1}{\sqrt{2}}cos\alpha)=\sqrt{2}(sin\frac{\pi }{4} sin\alpha+cos\frac{\pi }{4}cos\alpha)\\\sqrt{2}(sin\frac{\pi }{4} sin\alpha+cos\frac{\pi }{4}cos\alpha)=\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$

Можем поменять местами π/4 и α по четности косинуса:

$\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)=\sqrt{2}cos( \alpha-\frac{\pi}{4} )$