Question

Вычислить неопределённые интегралы
1. log xsin 3x dx
2. log xe^3x^2 dx
3. log x^2 / 1+ x^3 dx

Помогите, пожалуйста...​

Answer 1

Ответ:

1)  Интегрирование по частям.

$\displaystyle \int x\cdot sin3x\, dx=\Big[\ u=x\, ,\ du=dx\ ,\ dv=sin3x\, dx\ ,\ v=-\frac{1}{3}\, cos3x\ \Big]=\\\\\\=-\frac{1}{3}\, x\cdot cos3x+\frac{1}{3}\int cos3x\, dx=-\frac{1}{3}\, x\cdot cos3x+\frac{1}{9}\, sin3x+C$

2)  Подведение под знак дифференциала ( можно заменой).

$\displaystyle \int x\cdot e^{3x^2}\, dx=\frac{1}{6}\int e^{3x^2}\cdot 6x\, dx=\frac{1}{6}\int e^{3x^2}\cdot d(3x^2)=\frac{1}{6}\cdot e^{3x^2}+C$  

3)  Подведение под знак дифференциала ( можно заменой).

$\displaystyle \int \frac{x^2}{1+x^3}\, dx=\frac{1}{3}\int \frac{3x^2\, dx}{1+x^3}=\frac{1}{3}\int \frac{d(1+x^3)}{1+x^3}=\frac{1}{3}\cdot ln|1+x^3|+C$

P.S. Если решать с помощью замены, то функцию, которую выделили под знаком дифференциала, заменять на новую переменную. Во 2 примере - это  $t=3x^2$ , в 3 примере - это  $t=1+x^3$  .

Answer 2

методом интегрирования по частям по формуле

∫udv=uv-∫vdu найдем

а) ∫х*sin3x{ x=u⇒dx=du;sin3xdx=dv⇒∫sin3xdx=∫dv⇒-cos3x/3=v}=

-(x*cos3x)/3-(1/3)∫(-cox3xdx)=-(x*cos3x)/3+(1/9)sin3x+c;

для б) в) используем метод подведения под знак дифференциала.

xdx=0.5d(x²)=0.5*(1/3)3d(3x²)=(1/6)d(3x²);

∫хе³ˣ²dx=∫(1/6)е³ˣ²d(3x²);=∫(1/6)e³ˣ²d(3x²)=(1/6)e³ˣ²+c;

в) ∫(х²/(1+х³)dx=(1/3)∫3x²dx/(1+x³)=(1/3)∫dx³/(1+x³)=(1/3)∫d(x³+1)/(1+x³)=

{табличный интеграл ∫du/u=㏑IuI+c}=㏑Ix³+1I+c