Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ
Найти общие решения дифференциальных уравнений.
Написать пожалуйста подробно

Answer 1

Ответ:

Общий интеграл:

1)  $\boxed{ \boldsymbol{ \dfrac{y^{2}}{2} + 2y - \ln |x + 3| = C } }$

2) $\boxed{\boldsymbol{ y = \dfrac{1}{x + 4} \bigg(\dfrac{-\cos 5x}{5} + C\bigg)}}$

Примечание:

Производная через дифференциалы:

$y'(x)= \dfrac{dy}{dx}$

По таблице интегралов:

$\boxed{\displaystyle \int dx = \int 1 \cdot dx = x + C}$

$\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}$

$\boxed{\displaystyle \int \frac{1}{x} \ dx = \ln|x| + C}$

$\boxed{\displaystyle \int \sin x \ dx = - \cos x + C}$

Пошаговое объяснение:

1)

$(y + 2)y' = \dfrac{1}{x +3}$ - обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$(y + 2) \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x +3} \bigg | \cdot dx$ - умножим на данное выражение, чтобы разделить переменные (пропорция)

$(y + 2)\ dy = \dfrac{dx}{x +3}$

$\displaystyle \int (y + 2)\ dy = \int \dfrac{dx}{x +3}$ - интегрируем обе части так как они содержат одинаковые переменные и соответствующие дифференциалы

$\displaystyle \int (y + 2)\ dy = \int \dfrac{d(x + 3)}{x +3}$ - вносим выражение $x + 3$ под дифференциал

$\dfrac{y^{2}}{2} + 2y + C_{1} = \ln |x + 3| + C_{2}$ - результат интегрирования

$\dfrac{y^{2}}{2} + 2y - \ln |x + 3| = C_{2} - C_{1}$

$\boxed{ \boldsymbol{ \dfrac{y^{2}}{2} + 2y - \ln |x + 3| = C } }$ - общий интеграл

2)

$y' + \dfrac{y}{x + 4} = \dfrac{\sin 5x}{x + 4}$ - линейное дифференциальное уравнения первого порядка

Применим метод Бернулли

Замена: $y = uv; y' = u'v + uv'$

(Примечание: $u \Longleftrightarrow u(x), v \Longleftrightarrow v(x))$

$u'v + uv'+ \dfrac{uv}{x + 4} = \dfrac{\sin 5x}{x + 4}$

$u'v + u \bigg(v'+ \dfrac{v}{x + 4} \bigg)= \dfrac{\sin 5x}{x + 4}$

Система:

$\displaystyle \left \{ {{1. \ \bigg(v'+ \dfrac{v}{x + 4} \bigg) =0} \atop {2. \ u'v = \dfrac{\sin 5x}{x + 4}}} \right.$

$1.$

$\bigg(v'+ \dfrac{v}{x + 4} \bigg) =0$ - ОДУ с разделяющимися переменными

$\dfrac{dv}{dx} = -\dfrac{v}{x + 4} \bigg | \cdot \dfrac{dx}{v}$ -  умножим на данное выражение, чтобы разделить переменные (пропорция)

$\dfrac{dv}{v} = -\dfrac{dx}{x + 4}$

$\displaystyle \int \dfrac{dv}{v} = \int -\dfrac{dx}{x + 4}$ - интегрируем обе части так как они содержат одинаковые переменные и соответствующие дифференциалы

$\displaystyle \int \dfrac{dv}{v} = - \int \dfrac{d(x + 4)}{x + 4}$ - вносим выражение $x + 4$ под дифференциал

$\ln |v| = -\ln|x + 4|$

$\ln |v| = \ln|(x + 4)^{-1}|$

$\ln |v| = \ln\bigg| \dfrac{1}{x + 4} \bigg | \Longrightarrow \boxed{ v = \dfrac{1}{x + 4} }$

$2.$

$u'v = \dfrac{\sin 5x}{x + 4}$

$\dfrac{u'}{x + 4} = \dfrac{\sin 5x}{x + 4} \bigg | \cdot (x + 4)$

$u' = \sin 5x$

$\dfrac{du}{dx} = \sin 5x | \cdot dx$

$du = \sin 5x \ dx$

$\displaystyle \int du = \int \sin 5x \ dx$

$\displaystyle \int 1 \cdot du =\frac{1}{5} \int \sin 5x \ d(5x)$

$u = \dfrac{-\cos 5x}{5} + C$

$y = uv =\dfrac{1}{x + 4} \bigg(\dfrac{-\cos 5x}{5} + C\bigg)$

$\boxed{\boldsymbol{ y = \dfrac{1}{x + 4} \bigg(\dfrac{-\cos 5x}{5} + C\bigg)}}$ - общий интеграл