Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$a_{1} = 1; a_{n + 1} = a_{n} + 8n$

Найдем несколько первых элементов последовательности:

$a_{1 + 1} = \boldsymbol{ a_{2}} = a_{1} + 8 \cdot 1 = 1 + 8 = \boldsymbol{ 9 } = 3^{2}$

$a_{2 + 1} = \boldsymbol{ a_{3} }= a_{2} + 8 \cdot 2 = 9 + 16 = \boldsymbol{ 25} = 5^{2}$

$a_{3 + 1} = \boldsymbol{ a_{4} }= a_{3} + 8 \cdot 3 = 25 + 24 = \boldsymbol{ 49} = 7^{2}$

Можно сделать гипотезу, что $a_{n + 1} = (2n + 1)^{2}$

Докажем, что $a_{n + 1} = (2n + 1)^{2} \Longleftrightarrow a_{n + 1} = a_{n} + 8n$ при $a_{1} = 1$

Воспользуемся методом математической индукции

База индукции:

$n = 1;$

$a_{2} = 9$ для $a_{1} = 1; a_{n + 1} = a_{n} + 8n$

$a_{2} = 9$ для $a_{1} = 1;a_{n + 1} = (2n + 1)^{2}$

Индуктивный переход:

$n = k;$

$a_{k +1} = (2k + 1)^{2}$ - пусть верно

$n = k+ 1;$

$a_{k + 2} = (2(k + 1) + 1)^{2} = (2k + 2 + 1)^{2} = (2k + 3)^{2}$

Необходимо доказать:

$a_{k + 2} = a_{k+1} + 8(k + 1)$

$(2k + 3)^{2} = (2k + 1)^{2} + 8(k + 1)$

$4k^{2} + 12k + 9 = 4k^{2} + 4k + 1 + 8k + 8$

$4k^{2} + 12k + 9 = 4k^{2} + 12k + 9$ - верно

То есть доказано, что $a_{n + 1} = (2n + 1)^{2} \Longleftrightarrow a_{n + 1} = a_{n} + 8n$ при $a_{1} = 1$ для обоих последовательностей.

А числа вида $(2n + 1)^{2}$ являются квадратами натуральных чисел, так как по определению $n \in \mathbb N$.