Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

18.20

$a^{n + 1} + b^{n + 1} \geq a^{n}b + b^{n}a$ при $n = 2k + 1,$ где $k \in \mathbb N$

$a^{2k + 1 + 1} + b^{2k + 1 +1} \geq a^{2k +1}b + b^{2k + 1}a$

$a^{2k + 2} + b^{2k + 2} \geq a^{2k}ab + b^{2k}ab$

$a^{2} \cdot a^{2k} -a^{2k}ab + b^{2}\cdot b^{2k} - b^{2k}ab \geq 0$

$a \cdot a^{2k} (a - b) + b \cdot b^{2k} (b - a)\geq 0$

$a \cdot a^{2k} (a - b) - b \cdot b^{2k} (a - b)\geq 0$

$(a - b)(a^{2k + 1} - b^{2k + 1}) \geq 0$

$(a - b)(a^{n} - b^{n}) \geq 0$

Если a > b, то $a - b > 0$ и $a^{n} - b^{n} > 0$, а произведение двух положительных чисел есть положительное число.

Если a < b, то $a - b < 0$ и $a^{n} - b^{n} < 0$, а произведение двух отрицательных чисел есть положительное число.

18.21

$a,b > 0$

$a^{n + 1} + b^{n + 1} \geq a^{n}b + b^{n}a$ при $n = 2k,$ где $k \in \mathbb N$

$a^{2k + 1} + b^{2k + 1} \geq a^{2k}b + b^{2k}a$

$a \cdot a^{2k} + b \cdot b^{2k} \geq a^{2k}b + b^{2k}a$

$a \cdot a^{2k} - a^{2k}b + b \cdot b^{2k} -b^{2k}a \geq 0$

$a^{2k}(a -b) +b^{2k}(b - a) > 0$

$a^{2k}(a -b) - b^{2k}(a - b) > 0$

$(a - b)(a^{2k} - b^{2k}) > 0$

$(a - b)(a^{n} - b^{n}) > 0$

Если a > b, то $a - b > 0$ и $a^{n} - b^{n} > 0$, а произведение двух положительных чисел есть положительное число.

Если a < b, то $a - b < 0$ и $a^{n} - b^{n} < 0$, а произведение двух отрицательных чисел есть положительное число.