Question

Упростить выражение cos(a+b)•cos(a-b)-cos²a-cos²b=

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

И следствие из него:

$\sin^2x=1-\cos^2x$

Формулы косинуса суммы и разности:

$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$

Получим:

$\cos(a+b)\cos(a-b)-\cos^2a-\cos^2b=$

$=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)(\cos a\cos b+\sin a\sin b)-\cos^2a-\cos^2b=$

$=(\cos a\cos b)^2-(\sin a\sin b)^2-\cos^2a-\cos^2b=$

$=\cos^2a\cos^2b-\sin^2a\sin^2b-\cos^2a-\cos^2b=$

$=\cos^2a\cos^2b-\sin^2a(1-\cos^2b)-\cos^2a-\cos^2b=$

$=\cos^2a\cos^2b-\sin^2a+\sin^2a\cos^2b-\cos^2a-\cos^2b=$

$=\cos^2a\cos^2b+\sin^2a\cos^2b-\sin^2a-\cos^2a-\cos^2b=$

$=\cos^2b(\cos^2a+\sin^2a)-(\sin^2a+\cos^2a)-\cos^2b=$

$=\cos^2b\cdot1-1-\cos^2b=\cos^2b-1-\cos^2b=-1$

Ответ: -1