Question

найдите знаменатель геометрической прогрессии, члены которой положительные числа, удовлетворяющие условию:
b4 - 9b2 - b3 - 9b1 = 0

Answer 1

Ответ:

Знаменатель геометрической прогрессии равен 3

Объяснение:

По условию элементы геометрической прогрессии удовлетворяют следующему равенству:

$b_{4} - 9b_{2} + b_{3} - 9b_{1} = 0$

По формуле n - ного элемента геометрической прогрессии:

$\boxed{b_{n} = b_{1}q^{n - 1}}$

$b_{2} = b_{1}q^{2 -1 } = b_{1}q$

$b_{3} = b_{1}q^{3 -1 } = b_{1}q^{2}$

$b_{4} = b_{1}q^{4 -1 } = b_{1}q^{3}$

Перепишем равенство данное по условию:

$b_{1}q^{3} - 9b_{1}q + b_{1}q^{2} - 9b_{1} = 0$

$b_{1}(q^{3} - 9q + q^{2} - 9) = 0$

1) случай $b_{1} = 0$

Однако по определению геометрической прогрессии $b_{1} \neq 0$, поэтому данный случай не рассматриваем

2) случай $q^{3} - 9q + q^{2} - 9 = 0$

$q(q^{2} - 9) + (q^{2} - 9) = 0$

$(q^{2} - 9)(q + 1) = 0$

$(q - 3)(q + 3)(q + 1) = 0$

$q_{1,2} = \pm 3$ или $q_{3} = -1$

Так как по условию $b_{n} > 0$, то и следовательно $b_{2} > 0$, то есть $b_{1}q > 0$ и $b_{1} > 0$ и тогда выражение $b_{1}q > 0$ только при условии, что $q > 0$, поэтому из полученных корней подходит только $q = 3$.