Question

$\int\limits^\frac{\pi}{3} _\frac{\pi}{6} 3cos6x dx$

Answer 1

Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница :      $\displaytsyle \int\limits^{b}_{a}\, f(x)\, dx=F(x)\, \Big|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$   .  

$\displaystyle \int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}\, 3\cdot cos\, 6x\, dx=3\cdot \frac{1}{6}\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\, cos\, 6x\cdot \underbrace{6\, dx}_{d(6x)}=\\\\\\=\Big[\ t=6x\ ,\ dt=6\, dx\ ,\int cost\, dt=sint+C\, \Big]=\frac{1}{2}\, sin6x\, \Big|^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \Big(sin\frac{\pi}{3}-sin\frac{\pi}{6}\Big)=\frac{1}{2}\cdot \Big(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\Big)=\frac{\sqrt3-1}{4}$