Question

Помогите пожалуйста. Найти неопределенный интеграл, вычислить определенный интеграл

Answer 1

Ответ:

Неопределенный интеграл:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int {\frac{3e^{x}}{\sqrt{2 - 3e^{x}} } } \, dx = -2\sqrt{2 - 3e^{x}} + C} }$

Определенный интеграл - не существует

Пошаговое объяснение:

Замена: $3e^{x} = t$

$dt = d(3e^{x}) \ dx$

$dt = 3e^{x} dx$

$dt = t \ dx \Longrightarrow \boxed{ dx = \dfrac{dt}{t} }$

Неопределенный интеграл:

$\displaystyle \int {\frac{3e^{x}}{\sqrt{2 - 3e^{x}} } } \, dx = \int {\frac{t}{t\sqrt{2 - t} } } \, dt = \int {\frac{1}{\sqrt{2 - t} } } \, dt = - \int {\frac{1}{\sqrt{2 - t} } } \, d(2 - t) =$

$= -2\sqrt{2 - t} + C = -2\sqrt{2 - 3e^{x}} + C$

Определенный интеграл:

Введем функцию $f(x) = \dfrac{3e^{x}}{\sqrt{2 - 3e^{x}} }$. Найдем $D(f(x))$.

$2 - 3e^{x} > 0$

$2 > 3e^{x}|:3$

$\dfrac{2}{3} > e^{x}$ - прологарифмируем обе части по основанию $e$

$\ln \dfrac{2}{3} > \ln e^{x}$

$\ln \dfrac{2}{3} > x \ln e$

$\ln \dfrac{2}{3} > x$

$x \in \bigg ( - \infty; \ln \dfrac{2}{3} \bigg)$

То есть $D(f(x)) = \bigg ( - \infty; \ln \dfrac{2}{3} \bigg)$

Так как $\ln \dfrac{2}{3} < 0$, то множество $[0; 1] \not\subset \bigg ( - \infty; \ln \dfrac{2}{3} \bigg)$, то есть $[0;1} \not \subset D(f(x))$ и определенный интеграл - не существует.