Question

50 баллов. найти предел функции

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boxed{ \LARGE \boldsymbol{} \lim_{x \to \infty} \bigg ( \dfrac{x + 4}{x - 4} \bigg)^{x - 4} = e^{8} } }$

Примечание:

Второй замечательный предел:

$\boxed{ \boldsymbol{ \lim_{n \to \infty} \bigg (1 + \dfrac{1}{n} \bigg)^{n} = e } }$

Для решения данного предела его нужно преобразовать к виду второго замечательного предела.

Пошаговое объяснение:

$\lim_{x \to \infty} \bigg ( \dfrac{x + 4}{x - 4} \bigg)^{x - 4} = \lim_{x \to \infty} \bigg ( \dfrac{x + 4 - 4 + 4}{x - 4} \bigg)^{x - 4} = \lim_{x \to \infty} \bigg ( \dfrac{x - 4 + 8}{x - 4} \bigg)^{x - 4}=$

$= \lim_{x \to \infty} \bigg ( \dfrac{x - 4 }{x - 4} + \dfrac{8}{x - 4} \bigg)^{x - 4} = \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \dfrac{8}{x - 4} \bigg)^{x - 4} =$

$= \lim_{x \to \infty} \LARGE \bigg ( 1 + \dfrac{1}{\dfrac{x - 4}{8} } \LARGE \bigg ) ^{ \bigg{x - 4}} =$

$=\lim_{x \to \infty} \LARGE \bigg ( \LARGE \bigg ( 1 + \dfrac{1}{\dfrac{x - 4}{8} } \LARGE \bigg ) ^{\dfrac{x - 4}{8} } \LARGE \bigg ) ^{\bigg (\bigg{x - 4} \bigg) \cdot \dfrac{8}{x - 4} } =$

$= \lim_{x \to \infty} \LARGE \bigg ( \LARGE \bigg ( 1 + \dfrac{1}{\dfrac{x - 4}{8} } \LARGE \bigg ) ^{\dfrac{x - 4}{8} } \LARGE \bigg ) ^{\bigg {8}} = \LARGE e^{8}$