Question

Получить расчетную формулу для периода колебаний стержня длины l=3,46 м, подвешенного на горизонтальной оси в точке, отстоящей на расстоянии х от
центра масс стержня.
1) При каком значении х, период минимален?
2) Найти этот период.

Answer 1

По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции стержня относительно данной точки

$J = ml^2/12 + mx^2 = m(x^2+l^2/12)$

При совершении стержнем малых колебаний, динамическое уравнение вращения имеет следующий вид

$J\ddot\varphi = -mg x \sin\varphi\approx -mgx\varphi\\\ddot\varphi + (mgx/J)\varphi =0$

Это уравнение колебаний с квадратом частоты равным

$\displaystyle \omega^2 = mgx/J = \frac{g}{x+l^2/(12x)}$

Период будет минимальным при максимальной частоте. Максимальная частота будет при минимальном знаменателе, его минимум найдем стандартным путем:

$d[x+l^2/(12x)]/dx = 1-l^2/(12x^2) = 0\\x = l/\sqrt{12}$
Это расстояние x меньше половины длины стержня, поэтому имеет физический смысл. В итоге квадрат максимальной частоты

$\displaystyle \omega^2 = \frac{g}{l/\sqrt{12}+l/\sqrt{12}} = \sqrt{3}g/l$

И минимальный период

$\displaystyle T = 2\pi/\omega = 2\pi\left[\frac{l}{g\sqrt{3}}\right]^{1/2}\approx 2.8$ сек