Ответы
Ответ:
3. Квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 3-√31 и 3 +√31:
х² - 6х - 22 = 0.
4. x₁² + x₂² = 59
5. Квадратное уравнение, корни которого на 1 больше соответствующих корней уравнения x² + 5x - 7 = 0:
х² + 3х - 11 = 0
Пошаговое объяснение:
3. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны
3-√31 и 3 +√31.
4. Известно, что х₁ и x₂ корни уравнения x² - 9x + 11 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения x₁² + x₂²
5. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 1 больше соответствующих корней уравнения x² + 5x - 7 = 0.
Теорема Виета:
- Сумма корней приведённого квадратного уравнения
- x² + px + q = 0
- равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену
- x₁ + x₂ = -p, x ₁ · x₂ = q.
3. Корни уравнения равны:
х₁ = 3 - √31 и х₂ = 3 + √31.
x² + px + q = 0
Найдем сумму и произведение корней:
x₁ + x₂ = 3 - √31 + 3 + √31 = 6
x₁ · x₂ = (3 - √31 )(3 + √31) = 9 - 31 = -22
⇒ р = -6; q = -22
Получим уравнение:
х² - 6х - 22 = 0.
4. x² - 9x + 11 = 0
По теореме Виета:
x₁ + x₂ = 9; x₁ · x₂ = 11.
Найдем x₁² + x₂²:
x₁² + x₂² = x₁² + 2x₁ x₂ + x₂² - 2x₁ x₂ = (x₁² + x₂²)² - 2x₁ x₂
Подставим значения:
(x₁² + x₂²)² - 2x₁ x₂ = 9² - 2 · 11 = 81 - 22 = 59
x₁² + x₂² = 59
5. x² + 5x - 7 = 0.
Пусть у₁ и у₂ - корни искомого уравнения.
Тогда, по условию
у₁ = х₁ + 1; у₂ = х₂ + 1
По теореме Виета:
х₁ + х₂ = -5; х₁х₂ = -7
Найдем второй коэффициент искомого уравнения:
у₁ + у₂ = (х₁ + 1) + (х₂ + 1) = х₁ + х₂ + 2 = -5 + 2 = -3
⇒ р = 3
Теперь найдем свободный член искомого уравнения:
(х₁ + 1)(х₂ + 1) = х₁х₂ +( х₁ + х₂) + 1 = -7 + (-5) + 1 = -11
⇒ q = -11
Искомое уравнение:
х² + 3х - 11 = 0