Question

ДАЮ 60 БАЛЛОВ!! СРОЧНО
Найти одну из первообразных функций F(x) для функции f(x)
1) f(x) = $x^{5}$ + 7x + 12
2) f(x )= 8cosx - 6$e^{x}$
3) f(x) = 5x - sinx + $3^{x}$
4) f(x) = $\frac{4}{x}$ - cos2x

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle 1)\ \ f(x)=x^5+7x+12\\\\F(x)=\int (x^5+7x+12)\, dx=\dfrac{x^6}{6}+\dfrac{7x^2}{2}+12x+C$

Одна из первообразных:  $\displaystyle F(x)=\dfrac{x^6}{6}+\dfrac{7x^2}{2}+12x$

$\displaystyle 2)\ \ f(x)=8\,cosx-6e^{x}\\\\F(x)=\int (8\, cosx-6e^{x})\, dx=8\, sinx-6e^{x}+C$

Одна из первообразных:  $F(x)=8\, sinx-6e^{x}-3$

$\displaystyle 3)\ \ f(x)=5x-sinx+3^{x}\\\\F(x)=\int (5x-sinx+3^{x})\, dx=\frac{5x^2}{2}+cosx+\frac{3^{x}}{ln3}+C$

Одна из первообразных:  $\displaystyle F(x)=\frac{5x^2}{2}+cosx+\frac{3^{x}}{ln3}-1$

$\displaystyle 4)\ \ f(x)=\frac{4}{x}-cos2x\\\\F(x)=\int (\frac{4}{x}-cos2x)\, dx=4\, ln|\, x\, |-\frac{1}{2}\, sin2x+C$

Одна из первообразных:   $\displaystyle F(x)=4\, ln|\, x\, |-\frac{1}{2}\, sin2x+\sqrt3$