Question

Срочно помогите пожалуйста, прошу, помогите

Answer 1

Ответ:

 $y''-2y'=x^2-1\ ,\ \ y(0)=0\ ,\ y'(0)=\dfrac{9}{4}$  

Это ЛНДУ 2 пор. с постоянными коэфф-ми .

Сначала решаем ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэфф-ми.

Составляем характеристическое ур-ие:  $k^2-2k=0\ ,\ \ k\, (k-2)=0\ ,$

$k_1=0\ ,\ \ k_2=2$

Получили два различных действительных корня, поэтому общее решение ЛОДУ 2 пор. имеет вид

  $y_{obsh}=C_1\cdot e^{0\cdot x}+C_2\cdot e^{2x}\ \ ,\ \ y_{obsh}=C_1+C_2\cdot e^{2x}$  

По виду правой части дифф. ур.  $f(x)=x^2-1=e^{0\cdot x}\cdot (x^2-1)$     составляем вид частного решения:  

$y_{chastn.}=x\cdot (Ax^2+Bx+C)=Ax^3+Bx^2+Cx$ .

Найдём производные и коэффициенты А , В , С методом неопределённых коэффициентов.

$y'=3Ax^2+2Bx+C\\y''=6Ax+2B\\\\y''-2y'=6Ax+2B-2(2Ax^2+2Bx+C)\ ,\\\\-4Ax^2+(6A-4B)x+(2B-2C)=x^2-1\\\\x^2\ |\ -4A=1\ \ \ \ ,\ \ \ \ \ A=-\dfrac{1}{4}\\x\ \ |\ 6A-4B=0\ \ ,\ \ \ \ 4B=6A\ ,\ \ 2B=3A\ ,\ \ 2B=-\dfrac{3}{4}\ ,\ \ B=-\dfrac{3}{8}\\x^0\ |2B-2C=-1\ \ ,\ \ \ 2C=2B+1\ ,\ \ C=-\dfrac{3}{4}+1=\dfrac{1}{4}$

Частное решение ЛНДУ 2 пор. имеет вид

$y_{chastn.neodn.}=-\dfrac{1}{4}\, x^3-\dfrac{3}{8}\, x^2+\dfrac{1}{4}\, x$  

Общее решение ЛНДУ 2 пор. имеет вид

$y=C_1+C_2\cdot e^{2x}-\dfrac{1}{4}\, x^3-\dfrac{3}{8}\, x^2+\dfrac{1}{4}\, x$

Подставляем начальные условия.

$y(0)=0:\ y(0)=C_1+C_2\cdot e^0}=C_1+C_2=0\ \ \Rightarrow \ \ C_1=-C_2\ ,\\\\y'(x)=2\, C_2\cdot e^{2x}-\dfrac{3}{4}\, x^2-\dfrac{3}{4}\, x+\dfrac{1}{4}\ \ ,\\\\y'(0)=\dfrac{9}{4}\ ,\ \ \ y'(0)=2\cdot C_2\cdot e^0+\dfrac{1}{4}=2\cdot C_2+\dfrac{1}{4}\ ,\ 2C_2=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}\ ,\ \ C_2=1\\\\C_1=-1$  

Частное решение ЛНДУ 2 пор. , удовлетворяющее заданным начальным условиям, равно

  $y_{obsh.neoln.}=-1+e^{2x}-\dfrac{1}{4}\, x^3-\dfrac{3}{8}\, x^2+\dfrac{1}{4}\, x$