Question

Помогите решить тригонометрическое уравнение

Answer 1

Решить уравнение 2cos((2x)/3 - π/4) = $\sqrt{3}$

Ответ:

$\Large \boldsymbol {}x_1= \frac{5\pi}8}+3\pi n, n\in Z\\\\x_2= \frac{\pi}8}+3\pi n, n\in Z$

Формула:

Если cos x = b и |b|≤1, то $\large \boldsymbol {} x = \±\arccos b +2\pi n, n\in Z$

Объяснение:

$\Large \boldsymbol {} 2\cos \left(\frac{2x}{3} - \frac{\pi }{4} \right) = \sqrt{3}\\\\\cos \left(\frac{2x}{3} - \frac{\pi }{4} \right) =\frac{\sqrt{3} }{2}$

Используем вышеуказанную формулу:

$\Large \boldsymbol {} \frac{2x}{3} - \frac{\pi }{4} = \±\arccos \frac{\sqrt{3} }{2} +2\pi n\\\\\frac{2x}{3} - \frac{\pi }{4} = \±\frac{\pi }{6} +2\pi n$

Переносим (-π/4) вправо:

$\Large \boldsymbol {}\frac{2x}{3} = \±\frac{\pi }{6}+ \frac{\pi}4} +2\pi n \:\: \: \Big| *3\\\\2x= \±\frac{\pi }{2}+ \frac{3\pi}4} +6\pi n \:\: \: \Big| :2\\\\x=\±\frac{\pi }{4}+ \frac{3\pi}8} +3\pi n$

Так как мы имеем ± - убираем его и записываем два корня:

$\Large \boldsymbol {} x_1=\frac{\pi }{4}+ \frac{3\pi}8}+3\pi n \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=-\frac{\pi }{4}+ \frac{3\pi}8}+3\pi n\\\\ x_1=\frac{2\pi }{8}+ \frac{3\pi}8}+3\pi n \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=-\frac{2\pi }{8}+ \frac{3\pi}8}+3\pi n\\\\ x_1= \frac{5\pi}8}+3\pi n \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2= \frac{\pi}8}+3\pi n$