Question

Ad - высота конуса, площадь треугольника abc = 144 корень из 3

Найти а) объем конуса б) площадь боковой поверхности конуса

Answer 1

Ответ:

а) Объем конуса равен 576π√3 ед.³

б) Площадь боковой поверхности конуса 288 ед.²

Объяснение:

Найти:

а) объем конуса;

б) площадь боковой поверхности конуса.

Дано: Конус;

AD - высота;

∠DAC = 30°;

S (ABC) = 144√3.

Найти: V, Sбок.

Решение:

а) Найдем объем конуса.

$\displaystyle \boxed {V=\frac{1}{3}\pi R^2{h}} }$ , где R - радиус основания; h - высота конуса.

Нужно найти радиус и высоту.

Рассмотрим ΔВАС - равнобедренный.

AD - высота.

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

⇒ AD - медиана, биссектриса.

∠DAC = 30° ⇒ ∠BAC = 60°.

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠В = ∠D

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠В = ∠D = (180° - 60°) : 2 = 60°

• Если в треугольнике все угля равны, то этот треугольник равносторонний.

Пусть АВ = ВС = АС = а

Площадь равностороннего треугольника:

$\displaystyle \boxed {S=\frac{a^2\sqrt{3} }{4} }$ , где а - сторона треугольника.

$\displaystyle 144\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}\\ \\a^2=\frac{576\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \\\\a=\sqrt{576}\\ \\a=24$

⇒ Радиус равен половине стороны ВС:

R = 24 : 2 = 12.

По теореме Пифагора найдем высоту AD из ΔDAC:

AD² = AC² - DC² = 576 - 144 = 432

AD = √432 = 12√3

Можем найти объем конуса:

$\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi \cdot144\cdot12\sqrt{3}=576\pi \sqrt{3}$   (ед.³)

Объем конуса равен 576π√3 ед.³

б) Найдем площадь боковой поверхности:

$\displaystyle \boxed { Sbok = \pi R\;l}$ , где l - образующая.

Sбок. = π · 12 · 24 = 288π (ед.²)

Площадь боковой поверхности конуса 288 ед.²