Question

Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти высоту конуса и площадь боковой поверхности.

Answer 1

Ответ:

Катет, противолежащий углу 30°, равна половине гипотенузы.

$H= \frac{l}{2}$

$S_{бок} = \pi rl$

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

${l}^{2} = {H}^{2} + {r}^{2} \\ {r}^{2} = {l}^{2} - {H}^{2}$

Подставим прошлое значение H.

${r}^{2} = {l}^{2} - {( \frac{l}{2}) }^{2} \\ {r}^{2} = \frac{4 {l}^{2} }{4} - \frac{ {l}^{2} }{4} \\ {r}^{2} = \frac{3 {l}^{2} }{4} \\ r = \sqrt{ \frac{3 {l}^{2} }{4} } \\ r = \frac{l \sqrt{3} }{2}$

Теперь можно подставить в формулу площади боковой поверхности.

$S_{бок} = \pi \times \frac{l \sqrt{3} }{2} \times l = \frac{\pi {l }^{2} \sqrt{3}}{2}$