Question

Известно, что:

tg x = 2/5 , tg (pi/2+y) = -3

Найди значения:

1. tg (x+y)= ?/?

2. tg (x-y)= ?/?

Answer 1

Формулы тангенса суммы и разности:

$\mathrm{tg}\,(x\pm y)=\dfrac{\mathrm{tg}\,x\pm\mathrm{tg}\,y}{1\mp\mathrm{tg}\,x\,\mathrm{tg}\,y}$

Известно, что $\mathrm{tg}\,x=\dfrac{2}{5}$.

Также известно, что $\mathrm{tg}\left(\dfrac{\pi }{2} +y\right)=-3$

Воспользовавшись формулой приведения, запишем:

$-\mathrm{ctg}\,y=-3$

$\mathrm{ctg}\,y=3$

И так как тангенс и котангенс - взаимно обратные величины, получим:

$\mathrm{tg}\,y=\dfrac{1}{3}$

Находим требуемые значения:

$\mathrm{tg}\,(x+y)=\dfrac{\mathrm{tg}\,x+\mathrm{tg}\,y}{1-\mathrm{tg}\,x\,\mathrm{tg}\,y}=\dfrac{\dfrac{2}{5} +\dfrac{1}{3} }{1-\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3}}=\dfrac{\dfrac{6}{15} +\dfrac{5}{15} }{1-\dfrac{2}{15}}=\dfrac{11}{15}:\dfrac{13}{15} =\boxed{\dfrac{11}{13}}$

$\mathrm{tg}\,(x-y)=\dfrac{\mathrm{tg}\,x-\mathrm{tg}\,y}{1+\mathrm{tg}\,x\,\mathrm{tg}\,y}=\dfrac{\dfrac{2}{5} -\dfrac{1}{3} }{1+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3}}=\dfrac{\dfrac{6}{15} -\dfrac{5}{15} }{1+\dfrac{2}{15}}=\dfrac{1}{15}:\dfrac{17}{15} =\boxed{\dfrac{1}{17}}$