Question

100 БАЛОВ Дана функция u=f(x;y). Показать, что она удовлетворяет данному уравнению.​

Answer 1

$u=f(x,y)=xe^y+ye^x\\\frac{\partial u}{\partial x} = e^y+ye^x\\\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial u}{\partial x}=ye^x\\\frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = ye^x$

В силу симметрии $\frac{\partial u}{\partial y} = e^x+xe^y \\\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=xe^y\\ \quad\frac{\partial^3 u}{\partial y^3} = xe^y$

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. То есть порядок дифференцирования не важен, можем выбирать какой хотим. Поэтому:

$\frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =e^y\\\frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =e^x$

Теперь подставим всё в равенство, которое мы хотим проверить:

$ye^x+xe^y=xe^y+ye^x$, что верно.