Question

исследовать ряд на сходимость, используя признак Коши

Answer 1

Ответ: ряд сходится.

Пошаговое объяснение:

В данном случае n-ный член ряда имеет вид an=[(3*n=2)/(4*n-1)]^n*(n-1)². Найдём корень n-ной степени из an: (an)^(1/n)=(3*n+2)/(4*n-1)*(n-1)^(2/n). Остаётся найти предел D этого выражения при n⇒∞. Предел выражения (3*n+2)/(4*n-1), очевидно, равен 3/4, поэтому D=3/4*lim(n-1)^(2/n). Обозначим A=lim(n-1)^(2/n) и рассмотрим число B=ln(A)=lim[2*ln(n-1)/n]. Для нахождения B применим правило Лопиталя:  B=lim[2/(n-1)]=0. Отсюда A=e^B=e^0=1, и тогда D=3/4. Так как D<1, то ряд сходится.