Question

Доказать, что многочлен не имеет кратных корней.
Помогите пожалуйста

Answer 1

Пусть $p(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!}$ имеет кратный корень $x_0$. Значит, число $x_0$ является корнем его производной $p'(x)=0+1+\dfrac{2x}{2!}+...+\dfrac{n\cdot x^{n-1}}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{ x^{n-1}}{(n-1)!}$.

Но тогда $x_0$ является корнем и разности $p(x)-p'(x)=\dfrac{x^n}{n!}$ - но единственным корнем этого многочлена является $x=0$. Значит, $x_0=0$.

Но $p(0)=1\neq 0$, т.е. $x_0=0$ не является корнем $p(x)$ - противоречие.

Значит, $p(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!}$ не имеет кратных корней.

Ч.т.д.