Question

Дам 100 балов
обчисліть об'єм тіла обертання навколо осі оy фігур які обмежені лініями: x= y² ; x=1​

Answer 1

Решение.

$x=y^2\ ,\ \ x=1$  

Формула вычисления объёма тела, полученного путём вращения криволинейной трапеции около оси ОУ:

    $\bf V_{oy}=\pi \int\limits_{a}^{b}\, x^2(y)\, dy$    

Точки пересечения  :  $\bf 1=y^2\ \ \Rightarrow \ \ \ y=\pm 1\ \ ,\ \ A(1\ , -1)\ ,\ B(1,1)$  .

Область симметрична относительно оси ОХ, поэтому можно подсчитать объём половины тела, а затем удвоить его.

$\displaystyle \bf \frac{1}{2}\, V_{oy}=\pi \int\limits_0^1\, \Big(x_1^2(y)-x_2^2(y)\Big)\, dy=\pi \int\limits_0^1\, \Big(1^2-y^4\Big)\, dy=\pi \cdot \Big(y-\frac{y^5}{5}\Big)\, \Big|_0^1=\\\\\\=\pi \cdot \Big(1-\frac{1}{5}\Big)=\frac{4\, \pi }{5}\\\\\\V_{oy}=\frac{8\, \pi }{5}$