Ответы
Дана функция y(x) = 2x3 + 6x - 3.
1) Область определения функции. Так как функция не имеет дроби или корня, то нет ограничения в области её определения.
D(y) = (−∞; +∞).
2) Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=2*(-x)^3+6*(-x)-3=-3x^3-6x-3≠f(x)≠-f(x).
3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Найдем точки пересечения с осью ординат Oy, для чего приравниваем x = 0: у = 2*03 + 6*0 - 3 = -3.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0; -3).
Найдем точки пересечения с осью абсцисс Ox, для чего надо решить кубическое уравнение 2x3 + 6x - 3 = 0.
Для вычисления корней данного кубического уравнения используем формулы Кардано.
Для начала нам надо привести наше уравнение до вида:
y3 + py + q = 0. Для этого используются следующие формулы:
p=-b^2/(3a^2 )+c/a; q=(2b^3)/(27a^3 )-bc/(3a^2 )+d/a,
где a - коэффициент при x3,
b - коэффициент при x2,
c - коэффициент при x,
d - свободный член.
Подставим наши значения в данные формулы, мы получим:
p=-0^2/(3*2^2 )+6/2=3; q=(2*0^3)/(27*2^3 )-(0*6)/(3*2^2 )+(-3)/2=-1,5.
вычислим количество корней кубического уравнения. Если:
Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня;
Q < 0 — три вещественных корня;
Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трехкратный вещественный корень.
В нашем случае Q = 1,5625, будем иметь один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.
А сами корни найдём по следующим формулам:
x_1=α+β-b/3a;
x_2,3=-(α+β)/2-b/3a∓i (α-β)/2 √3 ;
где α=(-q/2+√Q)^(1/3) , β=(-q/2-√Q)^(1/3).
Подставив наши значения в вышеуказанные формулы вычислим, что:
α = 1,2599, β = −0,7937.
x1= 0,4662; x2,3 = -0.2331 ± i·1,7785.
Стационарные точки, интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы функции.
Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции: y’ = (2x3 + 6x + 3)’ = 6x2 + 6 = 6(x2 + 1).
Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых y′=0: 6(x2 + 1) = 0. Это уравнение не имеет решения.
Критических точек нет.
Так как производная больше нуля на всей области определения, то функция только возрастающая.
5) Дополнительные точки для построения графика функции y(x) = 2x3 + 6x - 3:
x y
-3.0 -75
-2.5 -49.2
-2.0 -31
-1.5 -18.7
-1.0 -11
-0.5 -6.2
0 -3
0.5 0.3
1.0 5
1.5 12.8
2.0 25
2.5 43.3
3.0 69
6) По полученным данным строим график, и отметим характерные точки (пересечения с осями).
