Question

помогите пожалуйста! даю 50 баллов.
в прямоугольный треугольник вписана окружность. к этой окружности проведены две касательные, являющиеся высотами треугольника к гипотенузе. найдите площадь отделенного пятиугольника AMNTP, если меньший катет - 3, больший катет - 4, гипотенуза - 5

Answer 1

Ответ: 23/6

Объяснение:

Пусть $D, F, E$ - точки касания окружности с отрезками $MN, BC, PT$ соответственно

$OD \perp MN, OE \perp PT$ по свойству касательных, следовательно $DNTE$ - прямоугольник, $NF=FT=\dfrac{AB+AC-BC}{2}=1$

$p=p_{ABC}=0.5(AB+AC+BC)=6$

$BF=p-AC=6-3=3\\BN=BF-NF=3-1=2\\MN=BN\tan \angle B=2\cdot \dfrac34=1.5\\S_{BMN}=0.5\cdot BN \cdot MN=0.5\cdot 2\cdot 1.5=1.5$

$CF=p-AB=6-4=2\\CT=CF-FT=2-1=1\\PT=CT\tan \angle C=1\cdot \dfrac43=\dfrac43\\S_{PTC}=0.5\cdot PT\cdot CT=0.5\cdot \dfrac43 \cdot 1=\dfrac23$

$S_{ABC}=0.5\cdot AB \cdot AC = 0.5 \cdot 4 \cdot 3=6\\S_{AMNTP}=S_{ABC}-S_{BMN}-S_{PTC}=6-1.5-\dfrac23=\dfrac92-\dfrac23=\dfrac{27-4}{6}=\dfrac{23}6$