Question

Помогите с алгеброй!!!
Найдите общее решение дифференциального уравнения 2ху'+у^2=1​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

2xy'=1-y²

y'=dy/dx

2xdy/dx=1-y²

разделяем переменные

2dy/(1-y²)=dx/x

интегрируем обе части

∫2dy/(1-y²)=∫dx/x

вычислим оба интеграла по отдельности

1) ∫2dy/(1-y²)

разложим 1/(1-y²) на сумму методом неопределенных коэффициентов

1/(1-y²)=1/((1-y)(1+y))=A/(1-y) + B/(1+y)=[A(1+y)+B(1-y)]/((1-y)(1+y))=

[A+Ay+B-By)]/((1-y)(1+y))

A+B+y(A-B)=1

получим систему

A+B=0

A-B=1

Методом сложения

складываем оба уравнения

2A=1 ; A=0,5 ; A+B=0; B=-A; B=-0,5

∫2dy/(1-y²)=2(∫( 0,5/(1-y)  +0,5/(1+y))dx=2*0,5(∫(1/(1-y)  + 1/(1+y))dx=

=lnI1-yI+lnI1+yI+C

∫2dy/(1-y²)=lnI1-yI+lnI1+yI+C

2) ∫dx/x=lnIxI+C

3) объединим решения

lnI1-yI+lnI1+yI+C=lnIxI+C

lnI1-yI+lnI1+yI-lnIxI+c=0 - общий интеграл или общее решение