Question

Два случайных подмножества стремя элементами выбраны из множества {1,2,3,4,5}.Чему равно математическое ожидание числа элементов в объединении этих двух подмножеств?
Ответ в виде обыкновенной дроби.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{21}{5}$

Пошаговое объяснение:

Пусть X - искомая случайная величина, равная числу элементов в объединении двух подмножеств. Она принимает значения 3, 4 и 5. Нахождение вероятностей произведем с помощью задачи о выборке. Можно считать, что сначала мы выбираем одно подмножество, а затем второе, тем самым элементы второго делятся на те, которые принадлежат первому подмножеству, и те, которые ему не принадлежат; X=3 - означает, что второе подмножество совпало с первым, поэтому

                        $P(X=3)=\dfrac{C_3^3}{C_5^3}=\dfrac{1}{\frac{5\cdot 4}{2}}=0,1,$    

X=4 означает, что два элемента второго подмножества выбраны  из трех элементов первого подмножества, а один - из дополнения к нему, поэтому

                      $P(X=4)=\dfrac{C_3^2\cdot C_2^1}{C_5^3}=\dfrac{3\cdot 2}{10}=0,6;$

X=5 означает, что один элемент второго подмножества выбран из трех элементов первого подмножества, а два - из дополнения к нему, поэтому

                      $P(X=5)=\dfrac{C_3^1\cdot C_2^2}{C_5^3}=\dfrac{3\cdot 1}{10}=0,3.$

Поэтому мы имеем случайную величину, которая задается таблицей

                                $X\ \begin{pmatrix}3&4&5\\0,1&0,6&0,3\end{pmatrix}.$

В верхней строчке выписаны значения этой случайной величины, в нижней - соответствующие вероятности. Поскольку математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на их вероятности, получаем

  $M(X)=3\cdot 0,1+4\cdot 0,6+5\cdot 0,3=4,2=\dfrac{42}{10}=\dfrac{21}{5}.$