Question

Основание прямой призмы равнобедренная
трапеция с боковой стороной 6 см, большим основа-
нием 16 см и острым углом 60°. Высота призмы равна
диагонали ее основания.
Вычислите площадь полной поверхности призмы.

Answer 1

Ответ:

Площадь полной поверхности призмы равна (78√3 + 532) см²

Объяснение:

Вычислите площадь полной поверхности призмы.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - призма;

ABCD - равнобедренная трапеция.

AB = CD = 6 см;

∠ВАD = 60°;

AD = 16 см.

DD₁ = BD.

Найти: S полн.

Решение:

Площадь полной поверхности призмы:

Sполн = Sбок + 2Sосн

1.  Рассмотрим ΔABD.

По теореме косинусов найдем ВD:

• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

BD² = AB² + AD² - 2AB · AD · cos60°

BD² = 36 + 256 - 2 · 6 · 16 · 0,5 = 196

BD = 14 (см)

⇒ DD₁ = 14 см.

2. Найдем площадь основания.

Проведем высоту ВН.

$\displaystyle S_{OCH}=\frac{BC+AD}{2}\cdot{BH}$

Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠АВН = 90° - 60° = 30°

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ АН = АВ : 2 = 6 : 2 = 3 (см)

Найдем меньшее основание ВС.

• Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на части, меньшая из которых равна полуразности оснований.

$\displaystyle AH=\frac{AD-BC}{2}\\ \\ 3=\frac{16-BC}{2}\\ \\ 6=16-BC\\\\BC = 10\;_{(CM)}$

Тогда по теореме Пифагора:

ВН² = АВ² - АН² = 36 - 9 = 27

ВН = √27 = 3√3 (см)

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Площадь основания равна:

$\displaystyle S = \frac{BC+AD}{2}\cdot{} BH=\frac{10+16}{2}\cdot3\sqrt{3}=39\sqrt{3}\;_{(CM^2)$

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы:

S бок = Росн · Н , где Р - периметр основания; Н - высота призмы.

Sбок = (6+10+6+16) · DD₁ = 38 · 14 = 532 (см²)

4. Найдем Sполн:

Sполн = 2Sосн + Sбок = 39√3 · 2 + 532 = (78√3 + 532) (см²)

Площадь полной поверхности призмы равна (78√3 + 532) см²