Question

ABCDA1B1C1D1- куб, точка К- середина ребра BB1, точка L принадлежит ребру AB, AL : LB=3 : 1. Найдите угол между векторами CL і KA​

Answer 1

ABCDA1B1C1D1-куб, точка К- середина ребра BB1, точка L принадлежит ребру AB, AL : LB=3 : 1. Найдите угол между векторами CL и KA

Объяснение:

Введем прямоугольную систему координат . Пусть ребро куба равно 1.

Координаты точек А(0;0;0) , К(0; 1; 0,5) ⇒ $\displaystyle \vec{KA}(0; -1;-0,5)$ .

Координаты точек C(-1; 1; 0) , L(0; 0,75; 0) ⇒ $\displaystyle \vec{CL}(1; -0,25; 0)$.

$\displaystyle cos( \vec{KA} , \vec{CL})=\frac{\vec{KA} * \vec{CL}}{\vec{|KA|} *\vec{|CL|}}$,  $\displaystyle \vec{KA} * \vec{CL}=0*1+(-1)*(0,25)+(-0,5)*0=0,25$

$\displaystyle \vec{|KA|} =\sqrt{(0^{2} +(-1)^{2}+(-0,5)^{2} ) }=\sqrt{\frac{5}{4} }$ ,

$\displaystyle \vec{|CL|} =\sqrt{(1^{2} +(-0,25)^{2}+(0)^{2} ) }=\sqrt{\frac{17}{16} }$,

$\displaystyle cos( \vec{KA} , \vec{CL})=\frac{0,25}{\sqrt{\frac{5}{4} } *\sqrt{\frac{17}{16} } } =\frac{0,25*8}{\sqrt{85} } =\frac{2}{\sqrt{85} } =\frac{2\sqrt{85} }{85}$

Угол между векторами  $\displaystyle \vec{KA} , \vec{CL}$ равен   $\displaystyle arccos \frac{2\sqrt{85} }{85}$.