Question

Задание 5.

В треугольнике PMK параллельно стороне MK провели прямую, которая пересекает стороны PM и PK в точках F и Е соответственно. По величинам, указанным на рисунке, найдите отношения:

а) EF : KM (10 баллов);

б) PPMK : PPFE (10 баллов);

в) SPFE : SPMK (10 баллов).

Skrinshot 13-10-2021 140811.png

Answer 1

В треугольнике PMK параллельно стороне MK провели прямую, которая пересекает стороны PM и PK в точках F и Е соответственно. MF= 6,FP=9, KE=4, EP=6 найдите отношения:

а) EF : KM

б)P(△PMK) : P(△PFE)

в) S(△PFE) : S(△PMK)

Ответ:

а) EF : KM = 3/5

б) P(△PMK) : P(△PFE) = 5/3

в) S(△PFE) : S(△PMK) =9/25

Объяснение:

Немного теории:

• Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.( I признак подобия треугольников).

Свойства подобных треугольников

• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Решение.

MP=MF+FP=6+9=15 ед; KP=KE+EP=4+6=10 ед.

Рассмотрим △MPK и △PFE.

∠MKP=∠FEP - как внутренние односторонние углы образованные пересечением параллельных прямых MK и FE секущей KP.

∠P - общий.

Следовательно треугольники подобны по двум углам ( 1 признак подобия).

a)Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон:

$\dfrac{EF}{KM} = \dfrac{FP}{MP} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$

б) Найдем коэффициент подобия:

$k = \dfrac{FP}{MP} = \dfrac{EP}{KP} \\ \\ k= \dfrac{9}{15} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$\dfrac{P_{PMK}}{P_{PFE}} = k = \dfrac{PM}{PF} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$

в) Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: . Отсюда

$\dfrac{S_{PFE}}{S_{PMK}} = {k}^{2} = (\frac{PF}{PM} )^{2} = ( \frac{3}{5})^{2} = \dfrac{9}{25}$