Question

Решить задачу линейного программирования графическим способом.

Answer 1

Ответ:

fmax = –1

Пошаговое объяснение:

Введем на плоскости прямоугольную систему координат Ox₁x₂ (это позволит применить алгоритм графического метода).

Начнем с нахождения значения переменных x₁ и x₂, при которых целевая функция принимает максимальное значение. Действовать будем пошагово в соответствии с алгоритмом решения ЗЛП графическим методом.

Шаг 1. Для того чтобы найти множество точек, координаты которых удовлетворяют первым 5 неравенствам системы ограничений, нужно построить граничные прямые.

x₁ + x₂ = 1

x₁ – x₂ = –1

x₁ – x₂ = 1

x₁ = 2

x₂ = 2

Затем определить соответствующие полуплоскости. Для этого определим, по какую сторону от прямой располагается точка O(0; 0). Красные стрелки показывают нужные полуплоскости.

Множества точек, координаты которых удовлетворяют всем 5 неравенствам, изображены на рисунке (заштрихованный пятиугольник).

Шаг 2. Строим вектор $\displaystyle \tt \vec{C}$ (–1; –1).

Шаг 3. Линия уровня F₀ задается уравнением –x₁–x₂ = const. На рисунке построена линия уровня, соответствующая –x₁–x₂ = –4.

Шаг 4. Сначала найдем значения переменных x₁, x₂, при которых целевая функция принимает максимальное значение. Поэтому перемещаем F₀ по направлению вектора $\displaystyle \tt \vec{C}$ до линии уровня, являющейся границей полуплоскости, целиком содержащей область допустимых решений  (заштрихованный пятиугольник).

Такой линией является прямая F₁, проходящая через точки (0; 1) и (1; 0). Следовательно,

максимального значения линейная целевая функция достигает в точках (0; 1) и (1; 0)  (так как линейная функция принимает свои наибольшие значения на границах отрезка!).

Шаг 5. Таким образом, целевая функция имеет максимальное значение в точке (1; 0) (или (0; 1)): fmax = –1–0 = –1.