трапеция вписана в окружность, а ее боковая сторона равна радиусу этой окружности. найдите угол между диагоналями трапеции
Ответы
Ответ:
60°
Объяснение:
Смотрите рисунок.
Требуется найти ∠BMC между диагоналями AC и BD.
Угол между двумя прямыми - это наименьший угол, образованный этими прямыми.
Вспомним, что у 6-угольника, вписанного в окружность, сторона как раз равна радиусу окружности.
На рисунке трапеция, которая есть половина 6-угольника.
Боковые стороны: BC = DA = R
Основания: AB = 2R; CD = R
∠ACB = 90° - как угол, опирающийся на диаметр окружности.
Катет BC в 2 раза меньше гипотенузы AB, поэтому:
∠BAC = 30° - как угол против этого катета.
Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°.
Поэтому:
∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠BAC = 180° - 90° - 30° = 60°.
Кстати, так как острый угол трапеции ∠ABC = 60°, а боковые стороны равны радиусу, то треугольники AOD, COB, DOC - все равносторонние.
Это значит, что трапеция должна быть именно такой - половиной правильного 6-угольника.
Очевидно, AM = MB, потому что точка M лежит на серединном перпендикуляре к основанию AB.
Треугольник AMB - равнобедренный.
И сумма углов у него тоже равна 180°, как и у ABC.
Значит:
∠BAM = ∠ABM = 30°
∠AMB = 180° - ∠BAM - ∠ABM = 180° - 30° - 30° = 120°.
∠BMC = 180° - ∠AMB = 180° - 120° = 60° - как смежный с ∠AMB.
#SPJ1
