Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Пределы:

1) $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n + 1} = 2} }$

2) $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n + 5}{n + 4} =1} }$

3) $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1000n}{n^{2} + 1} =0} }$

Примечание:

$\boxed{ \boldsymbol{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 } }$

Теоремы: (при условии, что $a_{n},b_{n}$ - сходящиеся последовательности)

Предел суммы:

$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n$

Предел произведения:

$\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n$

Следствие из предела произведения:

$\lim_{n \to \infty} (k \cdot a_n) = k\lim_{n \to \infty} a_n$, где $k \in \mathbb R$

Предел частного:

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}} = \dfrac{\lim_{n \to \infty} a_n }{\lim_{n \to \infty} b_n }$ при условии, что $b_{n} \neq 0; \lim_{n \to \infty} b_{n} \neq 0$.

Объяснение:

34.1

1)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\cfrac{2n}{n} }{\cfrac{n + 1}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{\cfrac{2}{1} }{\cfrac{n}{n} + \cfrac{ 1}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{2 }{1 + \cfrac{ 1}{n} } = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{1 }{1 + \cfrac{ 1}{n} } =$

$\displaystyle = 2 \cdot \frac{ \lim_{n \to \infty}1 }{\lim_{n \to \infty}\bigg (1 + \cfrac{ 1}{n} \bigg)} = 2 \cdot \frac{ \lim_{n \to \infty}1 }{\lim_{n \to \infty}1 +\lim_{n \to \infty} \cfrac{ 1}{n}} = 2 \cdot \frac{1}{1 + 0} = 2$

2)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n + 5}{n + 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\cfrac{n + 5}{n} }{\cfrac{n + 4}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{\cfrac{n }{n} + \cfrac{ 5}{n} }{\cfrac{n}{n} + \cfrac{4}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \cfrac{ 5}{n} }{1 + \cfrac{4}{n}} = \frac{ \lim_{n \to \infty} \bigg( 1 + \cfrac{ 5}{n} \bigg) }{ \lim_{n \to \infty} \bigg( 1 + \cfrac{4}{n} \bigg) } =$

$=\displaystyle \frac{ \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \cfrac{ 5}{n} }{ \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \cfrac{4}{n} } = \frac{ \lim_{n \to \infty} 1 + 5\lim_{n \to \infty} \cfrac{ 1}{n} }{ \lim_{n \to \infty} 1 + 4\lim_{n \to \infty} \cfrac{1}{n} } = \frac{1 + 5\cdot 0}{1 + 4\cdot 0} = \frac{1 + 0}{1 +0} =1$

3)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1000n}{n^{2} + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{1000n}{n^{2}} }{\cfrac{n^{2} + 1}{n^{2}} } = \lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{1000}{n} }{\cfrac{n^{2} }{n^{2} } + \cfrac{1}{n^{2}} } = \lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{1000}{n} }{1 + \cfrac{1}{n^{2}} } =$

$\displaystyle = \frac{\lim_{n \to \infty}\dfrac{1000}{n} }{\lim_{n \to \infty} \bigg (1 + \cfrac{1}{n^{2}} \bigg) } = \frac{1000\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n} }{\lim_{n \to \infty} \bigg (1 + \cfrac{1}{n^{2}} \bigg) } =\frac{1000\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n} }{\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \cfrac{1}{n^{2}} }=$

$=\dfrac{1000 \cdot 0}{1 + 0} = \dfrac{0}{1} = 0$.