Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Пределы:

1) $\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n + 2}{3n} = \frac{1}{3} } }$

2) $\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3}{3n - 4} = \frac{2}{3} } }$

3) $\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{100\sqrt{n} }{n + 2} = 0 } }$

Примечание:

$\boxed{ \boldsymbol{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 } }$

Теоремы: (при условии, что $a_{n},b_{n}$ - сходящиеся последовательности)

Предел суммы:

$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n$

Предел произведения:

$\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n$

Предел частного:

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}} = \dfrac{\lim_{n \to \infty} a_n }{\lim_{n \to \infty} b_n }$ при условии, что $b_{n} \neq 0; \lim_{n \to \infty} b_n \neq 0$.

Объяснение:

34.2

1)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n + 2}{3n} = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \frac{n + 2}{n} = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \frac{\cfrac{n + 2}{n} }{\cfrac{n}{n} } = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \frac{\cfrac{n }{n} + \cfrac{2}{n}}{1 } =$

$\displaystyle= \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \bigg( 1 + \cfrac{2}{n} \bigg) = \frac{1}{3} \bigg ( \lim_{n \to \infty}1 + \lim_{n \to \infty} \cfrac{2}{n} \bigg) = \frac{1}{3} \bigg ( 1 + 2\lim_{n \to \infty} \cfrac{1}{n} \bigg) =$

$\displaystyle = \frac{1}{3} \bigg ( 1 + 2\cdot 0 \bigg) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

2)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3}{3n - 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\cfrac{2n + 3}{n} }{\cfrac{3n - 4}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \cfrac{3}{n} }{3 - \cfrac{4}{n} } = \frac{ \lim_{n \to \infty} \bigg(2 + \cfrac{3}{n} \bigg) }{ \lim_{n \to \infty} \bigg(3 - \cfrac{4}{n} \bigg) } = \frac{2}{3}$

3)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{100\sqrt{n} }{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\cfrac{100\sqrt{n}}{n} }{\cfrac{n + 2}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{\cfrac{100\sqrt{n}}{ \sqrt{n} \cdot \sqrt{n} } }{ \cfrac{n }{n} + \cfrac{ 2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\cfrac{100}{ \sqrt{n} } }{1 + \cfrac{ 2}{n}} =$

$= \dfrac{ \lim_{n \to \infty} \cfrac{100}{ \sqrt{n} } }{\lim_{n \to \infty} \bigg (1 + \cfrac{ 2}{n} \bigg)} = \dfrac{0}{1} = 0$