Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: y=2tgx-tg^2x [0; П/3]

Answer 1

Решение.

Наибольшее и наименьшее значения функции достигаются либо в точках экстремума либо на концах заданного промежутка .

Найдём критические точки, определим, какие из них входят в промежуток [0 ; П/3 ] .

$\bf y=2tgx-tg^2x\ \ ,\ \ \ x\in [\ 0\ ;\ \frac{\pi}{3}\ ]\\\\\\y'=\dfrac{2}{cos^2x}-\dfrac{2\, tgx}{cosx^2x}=\dfrac{2}{cos^2x}\cdot (1-tgx)=0\ \ ,\\\\\\\dfrac{2}{cos^2x}\ne 0\ \ \Rightarrow \ \ \ 1-tgx=0\ ,\ \ tgx=1\ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{4}+\pi n\ ,\ n\in \mathbb Z\\\\\\cosx\ne 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ n\in \mathbb Z$

Критические точки, входящие в заданный промежуток, - это  $\bf x=\dfrac{\pi }{4}$  .

Вычислим  значения функции в  точках  х=0 , х=П/4 , х=П/3 .

$\bf y(0)=2\, tg0-tg^20=0\\\\y(\dfrac{\pi}{4})=2\cdot tg\dfrac{\pi}{4}-tg^2\dfrac{\pi}{4}=2\cdot 1-1^2=1\\\\y(\dfrac{\pi}{3})=2\cdot tg\dfrac{\pi}{3}-tg^2\dfrac{\pi }{3}=2\cdot \sqrt3-3\approx 0,46$

Наименьшее значение  $\bf y(\dfrac{\pi}{3})=2\sqrt3-3$  .

Наибольшее значение  $\bf y(\dfrac{\pi}{4})=1$   .