Question

Один из внешних углов прямоугольноготреугольника равен 120 градусов найти большую и меньшую сторону треугольника если их сумма ровна 18 см

Answer 1

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с данным.

Очевидно, что внешний угол не смежен с углом в 90°, иначе он был бы равен 180°.

Пусть угол, не смежный с внешним равен x°, тогда

120 = 90 + x

x = 30°

Пусть катет, лежащий против угла в 30° равен y см,

Тогда второй катет равен 18 - y см по условию.

Против угла в 30° в прямоугольком треугольнике лежит катет, равный половине гипотенузы, откуда гипотенуза равна x * 2 = 2x см

По теореме Пифагора

x^2 + (18 - x)^2 = (2x)^2

x^2 + 324 - 36x + x^2 = 4x^2

2x^2 - 36x + 324 = 0

Разделим обе частиу уравнения на 2

x^2 + 18x - 162 = 0

D = 18^2 - 4 * (-162) * 1 = 324 + 648 = 972

x1 = (-18 - корень(D)) / 2 = (-18 - 18 * корень(3)) / 2 =

= -9 - 9 * корень(3). Не подходит, так как катет не может быть отрицательным

x2 = (-18 + 18 * корень(3)) / 2 = -9 + 9 * корень(3) см

Найдем второй катет:

18 - (-9 + 9 * корень(3)) = 27 - 9 * корень(3) см

Осталось узнать, какой из катетов больше

Сравним их

-9 + 9 * корень(3) V 27 - 9 * корень(3)

9 * корень(3) + 9 * корень(3) V 27 + 9

18 * корень(3) V 36

Разделим обе части на 18

корень(3) V 2

Возведем обе части в квадрат

3 < 4

Значит 27 - 9 * корень(3) больше.

Ответ:

большая сторона равна 27 - 9 * корень(3) см

Меньшая сторона равна 9 * корень(3) - 9 см