Question

помогите решить
(y-1/x)dx=(1/y-x)dy​

Answer 1

Ответ: x*y-ln/x*y/=C.

Пошаговое объяснение:

Перепишем уравнение в виде (y-1/x)*dx+(x-1/y)*dy=0. Обозначив P=y-1/x и Q=x-1/y, замечаем, что P'y=Q'x=1. Значит, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах, то есть существует такая функция u(x,y), что u'x=P и u'y=Q.

Решим уравнение u'x=P=y-1/x. Интегрируя, находим u=∫y*dx-∫dx/x=x*y-ln/x/+f(y), где f(y) - неизвестная пока функция от y. Дифференцируя это выражение по y, находим u'y=x+f'(y). Но так как u'y=Q, то отсюда следует уравнение x+f'(y)=x-1/y, или f'(y)=-1/y. Интегрируя, находим f(y)=-ln/y/. Тогда u(x,y)=x*y-ln/x/-ln/y/=x*y-ln/x*y/. И так как P*dx+Q*dy=du=0, то u=C, где C - произвольная постоянная. Отсюда x*y-ln/x*y/=C.